Målteori
Målteori er en gren af matematisk analyse, der undersøger
Begrebet mål er en generalisation af begreber som "længde", "areal" og "volumen" (om end ikke alle dets anvendelser har med fysiske størrelser at gøre). Uformelt er et mål, givet en grundmængde, en tillæggelse af bestemte "størrelser" til (nogle af) delmængderne af grundmængden. Afhængende af anvendelsen kan "størrelsen" af en delmængde opfattes som (f.eks.) mængdens fysiske størrelse, størrelsen af mængdens indhold eller sandsynligheden for at en stokastisk proces giver et resultat, der ligger i mængden. Den primære anvendelse af mål er at definere generelle begreber om integration over områder med mere komplekse strukturer end intervaller på den reelle akse. Sådanne integraler anvendes i høj grad i sandsynlighedsteori og i en del af matematisk analyse.
Det er ofte ikke muligt eller ønskeligt at give en størrelse til alle delmængder af grundmængden, så et mål forlanges ikke at gøre det. Der er bestemte konsistenskrav, der bestemmer, hvilke kombinationer af delmængder, der skal tillægges mål; disse krav er samlet under begrebet
Definition
[redigér | rediger kildetekst]Formelt er et mål en afbildning
- Den tomme mængde har mål nul:
- .
- Tællelig additivitet eller
σ -additivitet: Hvis A1, A2, ... er en tællelig følge af parvis disjunkte mængder iΣ , så er målet af foreningen af alle Ai lig summen af målene af hvert Ai:
- Dette krav kan ved fortolkningen i indledningen forstås som, at det samlede volumen af forskellige legemer blot er summen af de enkelte voluminer, eller at sandsynligheden for at foreningen af disjunkte hændelser indtræffer (dvs. at mindst en af hændelserne indtræffer), er lig summen af de enkelte sandsynligheder.
Parret (X,
Et sandsynlighedsmål er et mål med total masse 1 (dvs.
For målrum der også er topologiske rum, kan man definere egenskaber ved målet ud fra topologien. De fleste mål, der optræder i praksis i analyse (og i mange tilfælde også i sandsynlighedsteori) er såkaldte Radonmål.
Egenskaber
[redigér | rediger kildetekst]Adskillige egenskaber kan udledes fra definitionen på målet.
Voksende
[redigér | rediger kildetekst]Målet
Mål på uendelige foreninger
[redigér | rediger kildetekst]Målet er subadditivt: Hvis A1, A2, ... er en tællelig følge af mængder i
- .
Målet er opadkontinuert: Hvis A1, A2, ... er målelige mængder, og An ⊆ An+1 for alle n, så er foreningen af mængderne målelig, og
- .
Mål på uendelige fællesmængder
[redigér | rediger kildetekst]Målet er nedadkontinuert: Hvis A1, A2, ... er målelige mængder, og An+1 ⊆ An for alle n er fællesmængden af mængderne en målelig mængde, og, hvis mindst en af mængderne har endeligt mål, gælder der, at
- .
Denne egenskab gælder ikke uden antagelsen om, at mindst en af mængderne har endeligt mål. Definer for eksempel for n ∈ N
Denne mængde har uendeligt mål, men fællesmængden af mængderne er tom.
Sigma-endelige mål
[redigér | rediger kildetekst]- Uddybende artikel: Sigma-endelige mål
Et målrum (X,
For eksempel er de reelle tal med Lebesguemålet (som er intervallængden på ethvert interval) et
Fuldstændighed
[redigér | rediger kildetekst]Lad (X,
Et mål kan udvides til et fuldstændigt mål ved at betragte
Eksempler
[redigér | rediger kildetekst]Herunder følger en række vigtige mål.
- Tællemålet er defineret som
μ (S) = antal elementer i S. - Lebesguemålet er det entydige fuldstændige translationsinvariante mål på en
σ -algebra, der indeholder intervallerne i R, såμ ([0,1]) = 1. - Haarmålet på en lokalt kompakt topologisk gruppe er en generalisering af Lebesguemålet og har en lignende entydighedsegenskab.
- Hausdorffmålet er en modifikation af Lebesguemålet til nogle fraktaler.
- Ethvert sandsynlighedsrum giver anledning til et mål, der tager værdien 1 på hele rummet (og derfor tager værdier i enhedsintervallet [0,1]). Et sådant mål kaldes et sandsynlighedsmål.
- Diracmålet
μ a er givet vedμ a(S) =χ S(a), hvorχ S er indikatorfunktionen af S. Målet af en mængde er 1, hvis mængden indeholder punktet a og 0 ellers.
Ikkemålelige mængder
[redigér | rediger kildetekst]- Uddybende artikel: Ikkemålelig mængde
Under antagelse af udvalgsaksiomet gælder, at ikke alle delmængder af det euklidiske rum er Lebesguemålelige; eksempler på mængder, der ikke er, er Vitalis mængde, og de ikke-målelige mængder, der postuleres i Hausdorffparadokset og Banach-Tarski-paradokset.