Achtzehneck
Ein Achtzehneck oder Oktodekagon (von altgriechisch ὀκτωκαίδεκα oktōkaídeka, deutsch ‚achtzehn‘ und γωνία gōnía, deutsch ‚Winkel, Ecke‘)[1] ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch achtzehn Eckpunkte.
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Regelmäßiges Achtzehneck
BearbeitenEin Spezialfall des Achtzehnecks ist das regelmäßige Achtzehneck, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.
Mathematische Zusammenhänge
BearbeitenFormel für Winkelberechnungen
BearbeitenDer von zwei durch benachbarten Ecken gehenden Umkreisradien eingeschlossene Winkel (Zentriwinkel) beträgt
- .
Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Achtzehneck miteinander einschließen, beträgt
- .
Formel für die Seitenlänge
BearbeitenDiagonalen
BearbeitenIm regelmäßigen Achtzehneck gibt es insgesamt 135 Diagonalen mit verschiedenen Längen:
- 18 Diagonalen über 2 (bzw. 16) Seiten
- 18 Diagonalen über 3 (bzw. 15) Seiten
- 18 Diagonalen über 4 (bzw. 14) Seiten
- 18 Diagonalen über 5 (bzw. 13) Seiten
- 18 Diagonalen über 6 (bzw. 12) Seiten
- 18 Diagonalen über 7 (bzw. 11) Seiten
- 18 Diagonalen über 8 (bzw. 10) Seiten
- 9 Diagonalen über 9 Seiten
Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:
- Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Neunecks mit gleichem Umkreis:
- Die Diagonale über drei Seiten entspricht der Seite eines Sechsecks mit gleichem Umkreis:
- Die Diagonale über vier Seiten:
- Die Diagonale über fünf Seiten:
- Die Diagonale über sechs Seiten entspricht der Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit gleichem Umkreis:
- Die Diagonale über sieben Seiten:
- Die Diagonale über acht Seiten:
- Die Diagonale über neun Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:
Formel für die Fläche
BearbeitenDie Fläche A des regelmäßigen Achtzehnecks mit der Seitenlänge s beträgt
oder mit dem Umkreisradius
- .
Konstruktion
BearbeitenDas Achtzehneck wird durch Konstruktion eines Neunecks (zu Details siehe dortigen Artikel) und anschließende Winkel- oder Seitenhalbierung konstruiert. Weil ein regelmäßiges Neuneck nicht nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, gilt das auch für das Achtzehneck. Man benötigt dazu zumindest ein Werkzeug zur Dreiteilung eines Winkels.
Regelmäßige überschlagene Achtzehnecke
BearbeitenEin regelmäßiges überschlagenes Achtzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen , wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur zwei regelmäßige Achtzehnecksterne, auch Octodecagramme genannt.
Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {18/2} und {18/16} sind Neunecke, die mit den Schläfli-Symbolen {18/3} und {18/15} sind Sechsecke sowie die mit den Schläfli-Symbolen {18/6} und {18/12} sind gleichseitige Dreiecke. Die Sterne mit den Schläfli-Symbolen {18/4} und {18/14} bzw. {18/8} und {18/10} sind regelmäßige Neunstrahlsterne auch Enneagramme genannt.
- Regelmäßige Achtzehnstrahlsterne
-
-
Verwendung des Achtzehnecks
BearbeitenDie um 1850 zum Andenken an Siege über Napoleon errichtete Befreiungshalle im bayrischen Kelheim hat einen achtzehneckigen Grundriss.
Weblinks
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).