Borelsche σ -Algebra
Die borelsche
Ihre besondere Bedeutung erhält die borelsche
Die in der borelschen
Die in der borelschen
Definition
BearbeitenGegeben sei ein topologischer Raum , wobei das Mengensystem der offenen Mengen ist.
Dann heißt die von erzeugte
Es ist also
- ,
wobei hier den
Bemerkungen
Bearbeiten- Die borelsche
σ -Algebra ist stets eindeutig bestimmt. - Eine borelsche
σ -Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur wird der Raum dann auch Borel-Raum genannt. Es werden jedoch auch andere Messräume als Borel-Räume bezeichnet. - Für metrische Räume und normierte Räume wird als Topologie die von der Metrik bzw. Norm erzeugte Topologie gewählt.
- Die in der borelschen
σ -Algebra enthaltenen Mengen werden Borel-Mengen genannt. Die Klasse der Borel-Mengen ist eine Unterklasse der Klasse der suslinschen oder auch analytischen Mengen.[4]
Die borelsche σ -Algebra auf den reellen Zahlen
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Die Menge der reellen Zahlen wird üblicherweise mit der Topologie ausgestattet, die durch die offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten aufgespannt wird. Damit ist die borelsche
Die borelsche
Erzeuger
BearbeitenDie borelsche
- per Definition
- oder
- oder
- oder
- oder
- oder
Insbesondere existieren offensichtlich mehrere Erzeuger für die borelsche
Enthaltene Mengen
BearbeitenDie in der borelschen
- alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen und alle kompakten Mengen
- alle Intervalle der Form für sowie und
- alle Punktmengen, also Mengen der Form für und alle endlichen Teilmengen von und alle abzählbar unendlichen Teilmengen von
- Aus den definierenden Eigenschaften von
σ -Algebren folgt direkt, dass endliche und abzählbar unendliche Vereinigungen und Schnitte von Borelmengen wieder Borelmengen sind, ebenso die Differenz und das Komplement. - Ist stetig, so sind auch Urbilder von Borelmengen wieder Borelmengen, insbesondere also auch Niveaumengen, Subniveaumengen und Superniveaumengen.
Die borelsche σ -Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen
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Teils werden die reellen Zahlen um die Werte erweitert, man nennt dann entsprechend
die erweiterten reellen Zahlen. Sie treten zum Beispiel bei der Untersuchung von numerischen Funktionen auf. Die borelsche
- .
Sie besteht demnach aus allen Borel-Mengen auf den reellen Zahlen sowie aus diesen Borel-Mengen vereinigt mit , oder .
Weitere borelsche σ -Algebren
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Die borelsche σ -Algebra auf separablen metrischen Räumen
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Gegeben sei ein separabler metrischer Raum . Die offenen Kugeln erzeugen als Basis eine Topologie, diese wird von der Metrik erzeugte Topologie genannt. Jede offene Menge ist aufgrund der Separabilität (welche im metrischen Fall zum zweiten Abzählbarkeitsaxiom äquivalent ist) als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln zu schreiben. Die kleinste -Algebra, die die offenen Kugeln enthält, enthält daher alle offenen Mengen und ist somit gleich der borelschen -Algebra.
Auf den Spezialfall und die euklidische Metrik wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.
Die borelsche σ -Algebra auf endlichdimensionalen reellen Vektorräumen
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Auf den endlichdimensionalen Vektorräumen wird die kanonische Topologie von
den -dimensionalen Quadern mit rationalen Koordinaten und aufgespannt. Sie ist gleichzeitig die -fache Produkttopologie der kanonischen Topologie auf . Die von ihr erzeugte borelsche
Auf diese Art ist auch elegant die borelsche
Teilmengen, die nicht zur borelschen
Die borelsche σ -Algebra auf allgemeinen topologischen Räumen
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Die Eigenschaften der borelschen
Je mehr Struktur der topologische Raum besitzt, umso mehr Mengen enthält dann auch die borelsche
- Ist der topologische Raum ein T1-Raum, so sind alle einelementigen Mengen in der borelschen
σ -Algebra enthalten. Damit sind auch alle endlichen Mengen, alle abzählbar unendlichen Mengen und alle Mengen mit endlichem oder abzählbar unendlichem Komplement in der borelschenσ -Algebra enthalten. - Ist der topologische Raum ein Hausdorff-Raum (wie zum Beispiel ein metrischer Raum), so sind alle kompakten Mengen abgeschlossen und damit in der borelschen
σ -Algebra enthalten.
Produkträume und die borelsche σ -Algebra
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Sind zwei topologische Räume und gegeben, so lässt sich die borelsche
- Entweder man bildet den (topologischen) Produktraum , versehen mit der Produkttopologie, hier mit bezeichnet. Die borelsche
σ -Algebra auf kann dann als die borelscheσ -Algebra der Produkttopologie definiert werden, also als
- oder man bildet zuerst die borelschen
σ -Algebren der einzelnen topologischen Räume und dann deren Produkt-σ -Algebra, hier mit bezeichnet:
Tatsächlich stimmen beide Konstruktionen in vielen Fällen überein, auch wenn die Fragestellung auf Familien von topologischen Räumen ausgeweitet wird. Es gilt:[5]
- Ist eine abzählbare Familie von topologischen Räumen, von denen jeder eine abzählbare Basis besitzt (also das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt), und sei das topologische Produkt all dieser Räume, so ist
- .
Die borelsche
- .
Nomenklatur für bestimmte Borel-Mengen
Bearbeiten- In der Literatur hat sich folgende von Felix Hausdorff eingeführte Bezeichnung für manche einfache Klassen von Borelmengen durchgesetzt:[6][4][7]
- - mit werden alle Vereinigungen von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen bezeichnet,
- - mit alle Durchschnitte von abzählbar vielen offenen Mengen,
- - mit alle Durchschnitte von abzählbar vielen -Mengen,
- - mit alle Vereinigungen von abzählbar vielen -Mengen,
- - mit alle Vereinigungen von abzählbar vielen -Mengen,
- - mit alle Durchschnitte von abzählbar vielen -Mengen
- usw.
- Alle , , , , , ,...-Mengen sind Borelmengen. Dieses Schema ermöglicht aber nicht, alle Borelmengen zu beschreiben, weil die Vereinigung von allen diesen Klassen im Allgemeinen bezüglich der Axiome einer -Algebra noch nicht abgeschlossen ist.[8]
- In der deskriptiven Mengenlehre bezeichnet man die offenen Mengen auch als -Mengen, die -Mengen als -Mengen, die -Mengen als -Mengen etc. Komplemente von -Mengen heißen -Mengen; so sind etwa die -Mengen genau die -Mengen.
Anwendung
BearbeitenDie Menge zusammen mit der borelschen
Siehe auch
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 12.
- ↑ Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 8.
- ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 17.
- ↑ a b Pavel S. Alexandroff: Lehrbuch der Mengenlehre. 6., überarbeitete Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1994, ISBN 3-8171-1365-X.
- ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 115.
- ↑ Vladimir Kanovei, Peter Koepke: Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre. 2001, uni-bonn.de (pdf; 267 kB).
- ↑ Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf Russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk).
- ↑ Bei z. B. ist es erst unter Zuhilfenahme von transfiniten Ordinalzahlen möglich, dieses System auf solche Weise fortzusetzen, dass alle Borelmengen von ihm erfasst werden (s. bairesche Klassen: Verbindung zu den borelschen Mengen). Es gibt aber auch topologische Räume, in denen bereits allein die - und -Mengen die ganze Klasse der Borelmengen ausschöpfen, wie z. B. in einem T1-Raum mit abzählbar vielen Punkten. Mehr zu diesem Thema kann in Felix Hausdorff: Mengenlehre. 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, nachgelesen werden.
Literatur
Bearbeiten- Sashi M. Srivastava: A course on Borels sets (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.