Multiindex

In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ ein Tupel natürlicher Zahlen.

Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise

In diesem Abschnitt seien ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ {\boldsymbol {k}}=(k_{1},\ldots ,k_{n}),\ {\boldsymbol {\ell }}=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}$ jeweils $n$-Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

${\begin{array}{ccl}{\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}=\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}=\ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {\ell }}&\iff &k_{1}\leq \ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}\leq \ell _{n}\\\\{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {\ell }}&:=&(k_{1}+\ell _{1}\;,\;\ldots \;,\;k_{n}+\ell _{n})\\\\{\boldsymbol {k}}!&:=&k_{1}!\cdots k_{n}!\\\\{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}&:=&{\frac {{\boldsymbol {\alpha }}!}{({\boldsymbol {\alpha -k}})!\,{\boldsymbol {k}}!}}={\alpha _{1} \choose k_{1}}\cdots {\alpha _{n} \choose k_{n}}\\\\|{\boldsymbol {k}}|&:=&k_{1}+\cdots +k_{n}\\\\{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}&:=&x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\\\\{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {k}}&:=&D_{1}^{k_{1}}\cdots D_{n}^{k_{n}}\,,\end{array}}$

wobei ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ und ${\boldsymbol {D}}$ einen Differentialoperator bezeichnet.

Anwendungsbeispiele

Potenzreihe

Eine Mehrfachpotenzreihe $\sum _{k_{1}\geq 0}\cdots \sum _{k_{n}\geq 0}a_{k_{1},\ldots ,k_{n}}(z_{1}-z_{1}^{o})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-z_{n}^{o})^{k_{n}}$ lässt sich kurz schreiben als $\sum _{{\boldsymbol {k}}\geq 0}a_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}^{o})^{\boldsymbol {k}}$.

Potenzfunktion

Ist ${\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ und sind ${\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} ^{n}$, so gilt ${\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {k}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}={\frac {{\boldsymbol {x}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}}{({\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}})!}}$ und ${\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {k}}{\frac {|{\boldsymbol {x}}|^{m}}{m!}}={\frac {|{\boldsymbol {x}}|^{m-|{\boldsymbol {k}}|}}{(m-|{\boldsymbol {k}}|)!}}$.

Geometrische Reihe

Für $-{\boldsymbol {1}}<{\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {1}}$ gilt $\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}={\frac {1}{({\boldsymbol {1}}-{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {1}}}}$, wobei ${\boldsymbol {1}}=(1,\ldots ,1)$ ist.

Binomischer Lehrsatz

Sind ${\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {C} ^{n}$ und ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} ^{n}$, so gilt $({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {y}}^{{\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}$ bzw. ${\frac {({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})^{\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {{\boldsymbol {y}}^{\boldsymbol {j}}}{{\boldsymbol {j}}!}}$.

Multinomialtheorem

Für ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ und $m\in \mathbb {N}$ ist $(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{m \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$ bzw. ${\frac {(x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}}{m!}}=\sum _{k_{1}+\cdots +k_{n}=m}{\frac {x_{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}\cdots {\frac {x_{n}^{k_{n}}}{k_{n}!}}$, was sich kurz schreiben lässt als ${\frac {|{\boldsymbol {x}}|^{m}}{m!}}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{\frac {{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}$.

Leibniz-Regel

Ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} ^{n}$ und sind $f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

$(fg)^{({\boldsymbol {m}})}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {m}} \choose {\boldsymbol {k}}}f^{({\boldsymbol {k}})}g^{({\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}})}$

beziehungsweise

${\frac {(fg)^{({\boldsymbol {m}})}}{{\boldsymbol {m}}!}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{\frac {f^{({\boldsymbol {k}})}}{{\boldsymbol {k}}!}}{\frac {g^{({\boldsymbol {j}})}}{{\boldsymbol {j}}!}}$.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind $f_{1},\ldots ,f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

${\frac {(f_{1}\cdots f_{n})^{m}}{m!}}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{\frac {{\boldsymbol {f}}^{({\boldsymbol {k}})}}{{\boldsymbol {k}}!}}$,

wobei ${\boldsymbol {f}}^{({\boldsymbol {k}})}=(f_{1},\ldots ,f_{n})^{{\big (}(k_{1}),\ldots ,(k_{n}){\big )}}=f_{1}^{(k_{1})}\cdots f_{n}^{(k_{n})}$ ist.

Cauchy-Produkt

Für Mehrfachpotenzreihen $f({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}a_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}\;,\;g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}b_{\boldsymbol {\ell }}\,{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}$ gilt $f({\boldsymbol {z}})\,g({\boldsymbol {z}})=\sum _{|{\boldsymbol {\ell }}|\geq 0}\left(\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {\ell }}}a_{\boldsymbol {k}}\,b_{\boldsymbol {j}}\right){\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {\ell }}$.

Sind $f_{1}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{1\ell }z^{\ell }\;,\;\ldots \;,\;f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }a_{n\ell }z^{\ell }$ Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt $f_{1}(z)\cdots f_{n}(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=\ell }a_{\boldsymbol {k}}\right)z^{\ell }$, wobei $a_{\boldsymbol {k}}=a_{1k_{1}}\cdots a_{nk_{n}}$ ist.

Exponentialreihe

Für ${\boldsymbol {z}}=(z_{1},...,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ gilt $e^{z_{1}+...+z_{n}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {{\boldsymbol {z}}^{\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {k}}!}}$.

Binomische Reihe

Sind ${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ und sind alle Komponenten von ${\boldsymbol {x}}$ betragsmäßig $<1\,$, so gilt $({\boldsymbol {1}}+{\boldsymbol {x}})^{\boldsymbol {\alpha }}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|\geq 0}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}\,{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {k}}$.

Vandermondesche Konvolution

Ist ${\boldsymbol {m}}\in \mathbb {N} ^{n}$ und sind ${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {C} ^{n}$, so gilt ${{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {m}}-{\boldsymbol {k}}}=\sum _{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {m}}}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}{{\boldsymbol {\beta }} \choose {\boldsymbol {j}}}$.

Ist $m\in \mathbb {N}$ und ${\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$, so gilt ${|{\boldsymbol {\alpha }}| \choose m}=\sum _{|{\boldsymbol {k}}|=m}{{\boldsymbol {\alpha }} \choose {\boldsymbol {k}}}$.

Cauchysche Integralformel

In mehreren Veränderlichen $z_{1},\ldots ,z_{n}\,$ lässt sich die cauchysche Integralformel

${\frac {D^{\boldsymbol {k}}f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}$

kurz schreiben als

$a_{\boldsymbol {k}}:={\frac {D^{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}})}{{\boldsymbol {k}}!}}={\frac {1}{(2\pi i)^{\boldsymbol {1}}}}\oint _{\partial {\boldsymbol {U}}}{\frac {f({\boldsymbol {\xi }})}{({\boldsymbol {\xi }}-{\boldsymbol {z}})^{{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {1}}}}}\,{\boldsymbol {d\xi }}$,

wobei $\partial {\boldsymbol {U}}=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}$ sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung $|a_{\boldsymbol {k}}|\leq {\tfrac {M}{{\boldsymbol {r}}^{\boldsymbol {k}}}}$, wobei $\textstyle M=\max _{{\boldsymbol {\xi }}\in \partial {\boldsymbol {U}}}|f({\boldsymbol {k}})|$ ist.

Taylor-Reihe

Ist $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ eine analytische Funktion oder $f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Abbildung, so kann man $f$ mit Hilfe eines Entwicklungspunktes ${\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ oder ${\boldsymbol {z}}_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ in einer Taylorreihe

$f({\boldsymbol {z}})=\sum _{{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {N} _{0}^{n}}{\frac {D^{\boldsymbol {k}}f({\boldsymbol {z}}_{o})}{{\boldsymbol {k}}!}}({\boldsymbol {z}}-{\boldsymbol {z}}_{o})^{\boldsymbol {k}}$

darstellen.

Hurwitz-Identität

Für $x,y\in \mathbb {C}$ mit $x\neq 0$ und ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ gilt $(x+y)^{n}=\sum _{{\boldsymbol {0}}\leq {\boldsymbol {k}}\leq {\boldsymbol {1}}}x\,(x+{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{|{\boldsymbol {k}}|-1}\,(y-{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}})^{n-|{\boldsymbol {k}}|}$.

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,x\,(x+ak)^{k-1}\,(y-ak)^{n-k}$.

Letztere erhält man im Fall ${\boldsymbol {a}}=(a,a,...,a)$.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.