„Peanosche Fläche“ – Versionsunterschied
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== Die zu widerlegende Vermutung == |
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Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion <math>f(x,y)</math> mit Ebenen durch die <math>z</math>-Achse an der Stelle <math>(0,0)</math> alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>(0,0)</math> ein lokales Maximum. |
Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion <math>f(x,y)</math> mit Ebenen durch die <math>z</math>-Achse an der Stelle <math>(0,0)</math> alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>(0,0)</math> ein lokales Maximum. |
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Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion <math>f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2)</math> gilt: |
Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion <math>f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2)</math> gilt: |
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== Eigenschaften |
== Eigenschaften der Funktion ''f'' == |
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Die Funktion <math>f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2)</math> besitzt folgende Eigenschaften: |
Die Funktion <math>f(x,y)=(2x^2-y)(y-x^2)</math> besitzt folgende Eigenschaften: |
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# <math>f(x,y)=0\;</math> auf den Parabeln <math>y=2x^2</math> und <math>y=x^2</math>. |
# <math>f(x,y)=0\;</math> auf den Parabeln <math>y=2x^2</math> und <math>y=x^2</math>. |
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Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der [[Hessematrix]] liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.<ref>Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 403.</ref> |
Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der [[Hessematrix]] liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.<ref>Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: ''Höhere Mathematik 1.'' Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 403.</ref> |
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== Weblinks: weitere Modelle der peanoschen Fläche == |
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* [http://www.math.tu-dresden.de/modellsammlung/karte.php?ID=314 Uni Dresden] |
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* [http://www.universitaetssammlungen.de/modell/281 Universitätssammlungen] |
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Version vom 20. Mai 2022, 14:38 Uhr
In der Mathematik ist die peanosche Fläche der Graph der Funktion
Sie wurde 1899 von Giuseppe Peano als Gegenbeispiel zu einer Vermutung für die Existenz eines lokalen Maximums/Minimums einer Funktion von zwei Variablen angegeben.[2][3][4]
Diese Fläche wurde 1920 von Georg Scheffers in seinem Lehrbuch der darstellenden Geometrie[5] als Fläche von Peano bezeichnet. Sie wird auch Peano-Sattel genannt.[6][7]
Die zu widerlegende Vermutung
Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion mit Ebenen durch die -Achse an der Stelle alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion an der Stelle ein lokales Maximum.
Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion gilt:
- Jede Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene durch die -Achse besitzt im Punkt ein lokales Maximum.
- In jeder Umgebung von besitzt sowohl positive als auch negative Werte.
Eigenschaften der Funktion f
Die Funktion besitzt folgende Eigenschaften:
- auf den Parabeln und .
- zwischen diesen Parabeln, also für (im Bild rosa) und
- sonst (im Bild hellblau).
- Schränkt man durch mit ein, so prüft man leicht nach, dass jede solche Einschränkung von im Nullpunkt ein lokales Maximum besitzt.
- Die Funktionswerte entlang der Parabel (im Bild rot) sind außerhalb des Nullpunktes positiv (!). hat also im Nullpunkt einen Sattelpunkt. (Für diese Überlegung kann man eine beliebige zwischen den Parabeln verlaufende Kurve verwenden.)
Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der Hessematrix liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.[8]
Weblinks: weitere Modelle der peanoschen Fläche
Literatur
- ↑ Peanosche Fläche. In: math.tu-dresden.de. Abgerufen am 2. August 2020.
- ↑ Arnold Emch: A model for the Peano Surface. In: American Mathematical Monthly. 29, Nr. 10, 1922, S. 388–391.
- ↑ Angelo Genocchi, Giuseppe Peano (Hrsg.): Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung. B.G. Teubner, 1899, S. 332.
- ↑ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven, Springer-Verlag, 2013, S. 197.
- ↑ Georg Scheffers: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Band II, 1920, S. 261–263.
- ↑ S. N. Krivoshapko, V. N. Ivanov: Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer, 2015. Siehe insbesondere den Abschnitt Peano Saddle, S. 562–563.
- ↑ George K. Francis: A Topological Picturebook. Springer-Verlag, New York 1987, ISBN 0-387-96426-6, S. 88.
- ↑ Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 403.