Benutzer:Samuel Adrian Antz/Drafts

Geplante oder begonnene Erstellung, Übersetzung oder starke Ausarbeitung

Mathematik

• Algebraische Topologie: Homotopietheorie, Homotopiegruppen von Sphären, Satz von Hurewicz
• Differentialgeometrie: Banach-Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Mannigfaltigkeiten, Nash-Moser-Umkehrsatz, Bündelmetrik
• Differentialtopologie: Exotische euklidische Räume, Exotische Sphären, Milnor-Sphäre

Science-Fiction

• Asiatische Science-Fiction-Filme und Serien: Three-Body, Three-Body Animation, Shanghai Fortress, Warriors of Future, Jung_E, The Silent Sea, Crazy Alien
• Romane von Andy Weir: Artemis
• Sonstige Romane: Die Kolonie, Die letzte Astronautin

Fehlt noch und könnte erledigt werden

Whitehead-Produkt, Generalisiertes Whitehead-Produkt, Poincaré-Homologiesphäre, Homotopiesphäre, Unitäre Transformation (Quantenmechanik), Hopf-Invariante, J-Homomorphismus, Holomorphe Kurve, Gray-Vermutung, Kohomotopie, Steenrod-Problem, Eckmann–Hilton-Argument, Garding-Ungleichung

Dold-Mannigfaltigkeit

Eine Dold-Mannigfaltigkeit ist

Weblinks

• Dold manifold auf nLab (englisch)

Kurzgeschichten von Greg Egan

Orakel (im Original Oracle) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht in Asimov's Science Fiction im Juli 2000. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009, Oceanic im Jahr 2009 und The Best of Greg Egan im Jahr 2019.

Handlung

Robert Stoney, eine alternative Version von Alan Turing, veröffentlicht ein Paper über eine vierdimensionale Yang-Mills-Theorie der Gravitation. Daraufhin sucht ihn die ihm unbekannte Helen auf und enthüllt, aus einem alternativen Ablauf der Geschichte zu stammen und die antiselbstdualen und selbstdualen Lösungen der Theorie für Reisen vorwärts und rückwärts durch die Zeit zu verwenden. Robert erkennt, dass Helen eine Maschine ist und bekommt von ihr fortgeschrittenes Wissen anvertraut. Dies fällt seinem Kollegen John Hamilton auf, einer alternativen Version von XXXX, und dieser fordert ihn daraufhin zu einer öffentlichen Diskussion darüber auf, ob Maschinen denken können. John argumentiert mithilfe des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes dagegen und erklärt ebenfalls das Halteproblem um zu zeigen, dass ein Orakel nicht existieren kann. Helen behauptet als Maschine jedoch, durch ihre Fähigkeit zur Zeitreise selbst ein Orakel zu sein.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Polnisch, Spanisch, Japanisch von Makoto Yamagishi, Französisch und Chinesisch (2024) übersetzt.

Kritik

Publishers Weekly schreibt über die Kurzgeschichte, dass Egan zeitweise ziemlich schwer sein kann („Egan can be heavy-handed at times“), der Charakter von Jack wie eine Strohmann-Version von C.S. Lewis wirke („the character Jack serves as a straw-man version of C.S. Lewis“) sowie dass Egans Talent für gut gezeichnete Charaktere scheint („Egan’s talent for creating well-drawn characters shines“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Cocoon (englisch für Kokon) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in der Sammlung Luminous im Jahr 1998.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde auf Japanisch, Französisch, Griechisch, Spanisch, Tschechisch und Koreanisch übersetzt.

Kritik

Karen Burnham schreibt in Greg Egan (Masters of Modern Science Fiction), dass die Kurzgeschichte eine geradlinige Beschäftigung mit Bioethik aufweist („a straightforward bioethics story“) und die verschiedenen Argumente sowie die politisch aufgeladene Natur solcher Fragen sehr effektiv aufzeigt („develops its different arguments and illustrates the politicized nature of all such questions very effectively“).

Literatur

• Karen Burnham: Greg Egan (Modern Masters of Science Fiction) (= Modern Masters of Science Fiction). University of Illinois Press, 2014, ISBN 978-0-252-03841-9 (englisch). 

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Hot Rock (englisch für Heißer Stein) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Novelette erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009 und Oceanic im Jahr 2009. Die Novelette spielt im gleichen Unviersum wie die Novelette Glory, die Novelle Riding the Crocodile und der Roman Incandescence von Greg Egan.

Handlung

Azar lässt ihr Bewusstsein über das Kommunikationsnetzwerk der außerirdischen Zivilisation der Amalgam über tausendfünfhundert Lichtjahre entfernt zur Raumstation Mologhat schicken. Diese befindet sich im Orbit um den ohne Stern durch den interstellaren Raum fliegenden Planemo Talullah. Azar trifft Shelma und zusammen landen beide auf Tallulah mit dem Ziel, den Grund hinter dessen ungewöhnlich hoher Temperatur zu finden. Sie erschaffen Körper ähnlich zu den außerirdischen echsenartigen Kreaturen, die im Ozean leben und offenbaren sich diesen als fremde Besucher.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Koreanisch und Chinesisch übersetzt.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

The Slipway (englisch für Die Gleitbahn) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Handlung

Fatima und Gabrielle entdecken mit dem Hinweis eines Farmers, welcher bereits einen Asteroiden entdeckt hat, neue Sterne am Nachthimmel, welche auf ein Wurmloch zurückgeführt werden können, welches Pane genannt wird. Theorien von außerirdischen intergalaktischen Transportnetzwerken oder Beweisen der Stringtheorie verbreiten sich auf der Welt, jedoch schlagen alle Messungen zur Bestimmung von Größe, Position und Geschwindigkeit des Pane fehl. Als das Wurmloch die doppelte Größe des Vollmondes erreicht hat, schlägt Fatima die Hypothese vor, dass der Pane in Wahrheit so groß wie das Sonnensystem ist und sich fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, weshalb das Sonnensystem es längst passiert habe und der Nachthimmel nur eine Illusion des mit aus der Vergangenheit gereisten Lichtes sei. Ihre Hypothese wird erst abgelehnt und sie mit Vergewaltigungs- und Morddrohungen überhäuft, doch als der Pane weiter wächst, werden verzweifelte Pläne zur Entsendung von Raumschiffen und -sonden zurück gemacht. Gabrielle entdeckt jedoch, dass die andere Seite des Pane einfach wieder genau ihre Ursprungsposition ist und dieser ihnen ein 67.000 Jahre altes Bild des Nachthimmels im Inneren gezeigt habe. Fatima und Gabrielle wollen sofort zurück an die Aufzeichnung des Phänomens, um es erneut zu finden, wenn es natürlich ist, oder eines Tages selbst zu erschaffen, wenn es künstlich ist.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Seventh Sight (englisch für Siebte Sicht) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Break my Fall (englisch für Brems meinen Fall) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Höhere Kategorientheorie

Eine Kategorifizierung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die XXXX.

Die Grothendieck-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Konstruktion XXXX.

Höhere Kategorientheorie ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung der Kategorientheorie.

Higher Topos Theory ist ein Buch des US-amerikanischen Mathematikers Jacob Lurie über die bekannte Theorie der ∞-Kategorien und die Einführung seiner neuen Theorie der ∞-Topoi.

Geschichte

Jacob Lurie veröffentlichte ein Paper über ∞-Topoi auf ArXiv im Jahr 2003. Peter May schreib daraufhin seinem Doktorvater Mike Hopkins, dass einige gute Ideen darin enthalten seien, doch diese überhastet vorgestellt und noch Ausarbeit benötigten würden. Jacob Lurie veröffentlichte anschließend eine Vorabversion einer ausgearbeiteten Fassung auf arXiv im Jahr 2006 und das vollendete Buch im Jahr 2009. Sei dem Jahr 2018 überträgt Jacob Lurie den Inhalt auf die eigens dafür erstellte Webseite Kerodon, benannt nach der gleichnamigen Nagetiergattung.

Auf Grundlage von Higher Topos Theory schrieb Jacob Lurie anschließend Higher Algebra, ein Buch in welchem die Theorie der ∞-Kategorien und ∞-Topoi mit der Algebra kombiniert wird, und veröffentlichte dieses im Jahr 2017.

Eine simplizial angereicherte Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der simplizialen Mengen angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, topologische Kategorien und Segal-Kategorien.

Definition

Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $\mathbf {sSet}$ der simplizialen Mengen angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ die Hom-Mengen $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ jeweils simpliziale Mengen sind (also in $\operatorname {Ob} \mathbf {sSet}$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen auch Morphismen zwischen simplizialen Mengen sind (also in $\operatorname {Ar} \mathbf {sSet}$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der simplizial angereicherten Kategorien wird als $\mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }$ notiert.

Verbindung zu topologischen Kategorien

Sei $\mathbf {cgHaus}$ die Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {cgHaus}$ und der singuläre Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {sSet}$ eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {cgHaus} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine topologische Kategorie durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{|{\mathcal {C}}|}(X,Y):=|\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)|.$

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})}(X,Y):=\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|\colon \mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }\leftrightarrows \mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }\colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Eine topologische Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien und Segal-Kategorien.

Definition

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist eine lokal kleine über der Kategorie $\mathbf {cgHaus}$ der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte $X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}$ die Hom-Mengen $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in $\operatorname {Ob} \mathbf {cgHaus}$ liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in $\operatorname {Ar} \mathbf {cgHaus}$ liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologischen Kategorien wird als $\mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }$ notiert.

Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien

Sei $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {cgHaus}$ und der singuläre Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {cgHaus} \rightarrow \mathbf {sSet}$ eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {cgHaus} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine topologische Kategorie durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{|{\mathcal {C}}|}(X,Y):=|\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)|.$

Eine topologische Kategorie ${\mathcal {C}}$ erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie durch:

$\forall X,Y\in \operatorname {Ob} {\mathcal {C}}\colon \operatorname {Hom} _{\operatorname {Sing} ({\mathcal {C}})}(X,Y):=\operatorname {Sing} (\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)).$

Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion $|-|\colon \mathbf {Cat} _{\mathbf {sSet} }\leftrightarrows \mathbf {Cat} _{\mathbf {cgHaus} }\colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Eine Segal-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine XXXX. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien und topologische Kategorien.

Eine Faserung von simplizialen Mengen ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller Morphismus zwischen simplizialen Mengen mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich Horninklusionen.

Eine Kan-Faserung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Faserung von simplizialen Mengen, nämlich eine mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich aller Horninklusionen.

Kan-Komplexe

Ein Kan-Komplex ist eine simpliziale Menge, für welche der eindeutige terminale Morphismus eine Kan-Faserung ist. Konkret ist also eine simpliziale Menge $X$ ein Kan-Komplex, wenn $X\rightarrow \Delta ^{0}$ eine Kan-Faserung ist, oder äquivalent jeder Morphismus $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow X$ für $n\geq 1$ und $0\leq k\leq n$ über die kanonische Inklusion $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ faktorisiert.

Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f\colon x\rightarrow y$ ein $1$-Simplex zwischen $0$-Simplizes $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$. Für den Morphismus $\Lambda _{0}^{2}\rightarrow X$ mit $(0\rightarrow 1)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{x}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $1\rightarrow 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $\Lambda _{2}^{2}\rightarrow X$ mit $(1\rightarrow 2)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{y}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $0\rightarrow 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.

Eine stabile ∞-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie eine spezielle ∞-Kategorie.

Ein ∞-Topos ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Topos, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Topos sich ähnlich wie die Kategorie der Prägarben von Mengen auf einem topologischen Raum verhält, verhält sich ein ∞-Topos ähnlich wie die ∞-Kategorie der Prägarben von Räumen auf einer kleinen ∞-Kategorie.

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.

Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden.

Die Homotopiehypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden können.

Hintergrund

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume und $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen. Mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Sei $\mathbf {CW}$ die Kategorie der CW-Komplexe und $\mathbf {Kan}$ die Kategorie der Kan-Komplexe. Da der singuläre Funktor stets ein Kan-Komplex und die geometrische Realisierung stets einen CW-Komplex ist, ergibt sich eine Einschränkung $|-|\colon \mathbf {Kan} \leftrightarrows \mathbf {CW} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Formulierung

Konkret besagt die Homotopiehypothese, dass die ∞-Kategorie der ∞-Gruppoide äquivalent zur simplizialen Lokalisierung der Kategorie der topologischen Räume an den schwachen Homotopieäquivalenzen ist. Bei der Modellierung von ∞-Gruppoiden durch Kan-Komplexe folgt daraus insbesondere das auch aus der CW-Approximation ableitbare Resultat, dass sich jeder schwache Homotopietyp durch eine geometrische Realisierung ausdrücken lässt. Eine allgemeinere Aussage mit Homotopieäquivalenzen gilt nicht, jedoch unter Einschränkung auf XXXX und die Kategorie der CW-Komplexe mithilfe des Satzes von Whitehead.

Stabilisierungshypothese

Die Stabilisierungshypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass XXXX.

Fluiddynamik

Ein Beltrami-Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches parallel zur eigenen Rotation ist. (Senkrecht zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein komplex lamellares Vektorfeld.) Benannt sind Beltrami-Vektorfelder nach Eugenio Beltrami.

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein Beltrami-Vektorfeld. Alternativ gibt es eine glatte Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit:

$\nabla \times \mathbf {A} =f\mathbf {A} .$

Eigenschaften

Ist ein Beltrami-Vektorfeld $\mathbf {A}$ zusätzlich quellenfrei mit $\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {A} )} _{=0}-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (f\mathbf {A} ).$

Ist die Funktion $f$ zusätzlich konstant, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =-\nabla \times (\lambda \mathbf {A} )=-\lambda \nabla \times \mathbf {A} =-\lambda ^{2}\mathbf {A} .$

Ein komplexes lamellares Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches senkrecht zur eigenen Rotation ist. (Parallel zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein Beltrami-Vektorfeld.)

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein komplexes lamellares Vektorfeld.

Die Chandrasekhar-Kendall-Funktionen sind im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis spezielle quellenfreie Vektorfelder, welche Eigenfunktionen der Rotation sind. Historisch entstanden ist dieses Problem in der Elektrodynamik aus der Beschreibung eines kraftfreien Magnetfeldes, für welches die Quellenfreiheit aufgrund des Gauß-Gesetzes (zweite Maxwell-Gleichung) gilt. Benannt sind Chandrasekhar-Kendall-Funktionen nach Subrahmanyan Chandrasekhar und P. C. Kendall, welche diese unabhängig voneinander entdeckten, aber gemeinsam veröffentlichten.

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

$\nabla \times \mathbf {A} =\lambda \mathbf {A}$

mit einer Konstante $\lambda \in \mathbb {R}$ ist eine Chandrasekhar-Kendall-Funktion.

Eigenschaften

Alle drei Komponenten einer Chandrasekhar-Kendall-Funktion erfüllen die Helmholtz-Gleichung, da:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {A} )} _{=0}-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\lambda \nabla \times \mathbf {A} =-\lambda ^{2}\mathbf {A}$

Ein kraftfreies Magnetfeld ist in der Plasmaphysik ein Magnetfeld mit verschwindender Lorentzkraft, in welchem der Plasmadruck gegenüber dem magnetischen Druck vernachlässigt werden kann, sodass zudem alle weiteren nichtmagnetischen Kräfte vernachlässigt werden können. Als Folge verschwindet entweder die elektrische Stromstärke oder steht parallel zum Magnetfeld. Beschrieben werden kraftfreie Magnetfelder durch Chandrasekhar-Kendall-Funktionen, welche historisch durch dieses Problem von Subrahmanyan Chandrasekhar und P. C. Kendall entdeckt wurden.

Beschreibung

Mit der elektrische Stromdichte $\mathbf {j}$ und dem Magnetfeld $\mathbf {B}$ ist die Lorentzkraftdichte (pro Volumen) $\mathbf {f}$ gegeben durch:

$\mathbf {f} =\mathbf {j} \times \mathbf {B} .$

Aus der Bedingung $\mathbf {f} =\mathbf {0}$ folgt mit dem Ampéreschen Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung) $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ unter Vernachlässigung des Verschiebungsstroms, also mit $\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {0}$ die Bedingung:

$(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Zudem gilt aufgrund des Gaußschen Gesetzes (zweite Maxwell-Gleichung):

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$

Literatur

• Gerald E. Marsh: Force-free magnetic fields: solutions, topology and applications. World Scientific, 1996, ISBN 981-02-2497-4, doi:10.1142/2965 (englisch). 

Das magnetische Skalarpotential ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine für die Beschreibung spezieller Magnetfelder nützliche Hilfsgröße.

Beschreibung

Für ein stationäres elektromangetisches Feld mit verschwindender elektrischer Stromdichte, also mit $\mathbf {j} =\mathbf {0}$und ${\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {0}$, wie es etwa bei gewöhnlichen Magneten der Fall ist, folgt mit dem Ampéreschen Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung) $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ direkt:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Gemäß der Helmholtz-Zerlegung existiert daher ein Skalarfeld $\psi$ mit:

$\mathbf {B} =\nabla \psi ,$

welches magnetisches Skalarpotential genannt wird.

Literatur

• W.J. Duffin: Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill, 1980, ISBN 0-07-084111-X (englisch). 

• Jack Vanderlinde: Classical Electromagnetic Theory. 2005, ISBN 1-4020-2699-4, doi:10.1007/1-4020-2700-1 (englisch, cern.ch). 

Ein Beltrami-Fluss ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein spezieller Fluss, deren Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) parallel zueinander sind. Benannt sind Beltrami-Flüsse nach Eugenio Beltrami.

Die Hicks-Gleichung (auch Bragg-Hawthorne-Gleichung oder Squire-Long-Gleichung) ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, XXXX. Mathematisch ist diese von der gleichen Form wie die Grad-Shafranov-Gleichung in der Plasmaphysik. Erstmals hergeleitet und benannt wurde die Gleichung im Jahr 1898 vom britischen Mathematiker und Physiker William Mitchinson Hicks. Eine erneute Herleitung geschah im Jahr 1950 durch Stephen Bragg und William Hawthorne, im Jahr 1953 durch Robert R. Long und im Jahr 1959 durch Herbert Squire. Eine vereinfachte Version ohne Wirbel wurde bereits im Jahr 1842 vom irischen Mathematiker und Physiker George Gabriel Stokes hergeleitet.

Formulierung

In Zylinderkoordinaten $(r,\vartheta ,z)$ mit Geschwindigkeitskomponenten $(v_{r},v_{\vartheta },v_{z})$ ist die Hicks-Gleichung für die Flussfunktion $\psi$ mit der Bernoulli-Funktion $H(\psi )$ und der Zirkulation $\Gamma (\psi )=rv_{\vartheta }$ gegeben durch:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma ^{2}}{\mathrm {d} \psi }}.$

Yih-Gleichung

Die Grad-Shafranov-Gleichung ist in der Plasmaphysik die ideale magnetohydrodynamische (MHD) Zustandsgleichung eines zweidimensionalen Plasmas, etwa in einem Tokamak. Mathematisch ist diese von der gleichen Form wie die Hicks-Gleichung in der Fluiddynamik. Gefunden und benannt wurde die Gleichung im Jahr 1958 vom US-amerikanischen Physiker Harold Grad and H. Rubin sowie im Jahr 1966 vom russisch-sowjetischen Physiker Witali Dmitrijewitsch Schafranow.

Formulierung

In Zylinderkoordinaten $(r,\vartheta ,z)$ mit Geschwindigkeitskomponenten $(v_{r},v_{\vartheta },v_{z})$ ist die Grad-Shafranov-Gleichung für die Flussfunktion $\psi$ mit dem Druck $p(\psi )$ und $F(\psi )=rB_{\vartheta }$ gegeben durch:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} F^{2}}{\mathrm {d} \psi }}.$

Literatur

• Grad, H., and Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields. Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.

• Shafranov, V.D. (1966) Plasma equilibrium in a magnetic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria. Notes about the Grad–Shafranov equation, selected aspects of the equation and its analytical solutions.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow. Incorporation of toroidal flow, relation to kinetic and two-fluid models, and discussion of specific analytical solutions.

Der Lamb-Vektor ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, das Kreuzprodukt von Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) des Fluids. Benannt ist der Lamb-Vektor nach Horace Lamb.

Die Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\nabla \times \left(-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -{\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {(\lambda +\mu )\nabla (\mathbf {v} \cdot \nabla )}{\rho }}+{\frac {\mathbf {f} }{\rho }}\right)={\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {v} )-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} ){\boldsymbol {\omega }}-{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \nabla \times \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {\mu \nabla \rho \times \Delta \mathbf {v} }{\rho ^{2}}}-{\frac {(\lambda +\mu )\nabla \rho \times \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}{\rho ^{2}}}+\nabla \times {\frac {\mathbf {f} }{\rho }}$

Die barotropische Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

Die vektorwertigen Kugelflächenfunktionen sind

Ein Burgers-Wirbel (oder Burgers-Rott-Wirbel) ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Burgers-Wirbel von Jan Burgers im Jahr 1948 und später untersucht von Nicholas Rott im Jahr 1958.

Ein Kerr-Dold-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Kerr-Dold-Wirbel von Oliver S. Kerr und John W. Dold im Jahr 1994.

Ein Sullivan-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Sullivan-Wirbel von Roger D. Sullivan im Jahr 1959.

Ein Batchelor-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine approximative aber nicht exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Erstmals beschrieben und benannt wurde der Batchelor-Wirbel vom australischen Mathematiker und Physiker George Keith Batchelor im Jahr 1964.

Weblinks

• Continuous spectra of the Batchelor vortex (geschrieben von Xueri Mao und Spencer Sherwin, veröffentlicht vom Imperial College London)

Ein Taylor-Green-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten. Gefunden wurde der Taylor-Green-Wirbel vom britischen Mathematiker und Physiker Geoffrey Ingram Taylor und Albert Edward Green im Jahr 1937.

Lusternik-Schnirelmann-Theorem

Das Lusternik-Schnirelmann-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Sphären durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Lusternik-Schnirelmann-Theorem nach den sowjetischen Mathematikern Lasar Aronowitsch Lusternik und Lew Genrichowitsch Schnirelmann im Jahr 1930. Es ist äquivalent zum Satz von Borsuk-Ulam aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Tucker aus der Kombinatorik.

Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma

Das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Simplizes durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma von den polnischen Mathematikern Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahr 1929. Es ist äquivalent zum Fixpunktsatz von Brouwer aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Sperner aus der Kombinatorik.

Homogene elektromagnetische Wellengleichung

Die homogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung ohne Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer homogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Inhomogene elektromagnetische Wellengleichung

Die inhomogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung mit Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer inhomogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Elektrovakuumlösung

Eine Elektrovakuumlösung ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes, genannt Elektrovakuumgleichungen (oder Einstein-Maxwell-Gleichungen).

Elektrovakuumgleichungen

Die Elektrovakuumgleichungen sind gegeben durch:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Die Kontraktion mit $g^{\mu \nu }$ führt mit $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ und $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$ auf:

$R=0.$

Eingesetzt in die Elektrovakuumgleichungen ergibt sich die Vereinfachung:

$R_{\mu \nu }=-{\frac {\kappa }{\mu }}\left(F_{\mu \lambda }F_{\;\;\nu }^{\lambda }+{\frac {1}{4}}F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda }g_{\mu \nu }\right).$

Beispiele

• Reissner-Nordström-Metrik (nicht rotierend und ohne dunkle Energie)
• Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz RN(A)dS-Metrik, nicht rotierend und mit dunkler Energie)
• Kerr-Newman-Metrik (rotierend und ohne dunkle Energie)
• Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz KN(A)dS-Metrik, rotierend und mit dunkler Energie)

Literatur

• Stephani, Hans, Kramer, Dietrich, MacCallum, Malcolm, Hoenselaers, Cornelius, Herlt, Eduard: Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7 (englisch). 
• Griffiths, J. B.: Colliding Plane Waves in General Relativity. Clarendon Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-853209-1 (englisch). 

Lambdavakuumlösung

Eine Lambdavakuumlösung ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen ohne Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und unter Berücksichtigung dunkler Energie mit der kosmologischen Konstante (notiert durch den griechischen Buchstaben Lambda), genannt Lambdavakuumgleichungen.

Lambdavakuumgleichungen

Die Lambdavakuumgleichungen sind gegeben durch:

$R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0.$

Die Kontraktion mit $g^{\mu \nu }$ führt mit $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$ und $g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=4$ auf:

$R=4\Lambda .$

Eingesetzt in die Lambdavakuumgleichungen ergibt sich die Vereinfachung:

$R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }.$

Beispiele

• Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz S(A)dS-Metrik, ungeladen und nicht rotierend)
• Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz RN(A)dS-Metrik, geladen und nicht rotierend)
• Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz K(A)dS-Metrik, ungeladen und rotierend)
• Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik (kurz KN(A)dS-Metrik, geladen und rotierend)

Schwarzschild-De-Sitter-Metrik

Die Schwarzschild-De-Sitter-Metrik (kurz SdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Schwarzschild-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz SAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Schwarzschild-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik gibt es in der Schwarzschild-De-Sitter-Metrik eine Obergrenze für den Radius eines Schwarzen Loches, wobei dieser Fall als Nariai-Metrik bekannt ist.

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird von der Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-, Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik und Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r):=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{3}-r+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

Für XXXX sind die beiden Lösungen dabei der Radius des Ereignishorizont des Schwarzen Loches sowie der kosmologische Radius. Für XXXX fallen die beiden Horizonte dabei zusammen.

• Es gilt $f'(r)=\Lambda r^{2}-1$, also gibt es lokale Extrema bei $r=\pm {\sqrt {1/\Lambda }}$.
• Es gilt $f''(r)=2\Lambda r$, also gibt es einen Krümmungswechsel bei $r=0$.

XXXX

$f\left({\sqrt {1/\Lambda }}\right)=-{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik

Die Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik (kurz RNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Reissner-Nordström-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz RNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Reissner-Nordström-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, der elektrischen Ladung $Q$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r)=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{4}-r^{2}+2Mr-Q^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

XXXX

• Es gilt $f'(r)={\frac {4\Lambda }{3}}r^{3}-2r+2M$
• Es gilt $f''(r)=4\Lambda r^{2}-2$, also gibt es für $\Lambda >0$ einen Krümmungswechsel bei $r=\pm {\sqrt {2/\Lambda }}$ und für $\Lambda <0$ keinen Krümmungswechsel.

XXXX:

$f'\left({\sqrt {2/\Lambda }}\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Kerr-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-De-Sitter-Metrik (kurz KdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie.

Die Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik

Abbildung von Ereignishorizonten und Ergosphären in der KNdS-Metrik für verschiedene Verhältnisse von Masse und kosmologischer Konstante

Die Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik (kurz KNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Newman-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Newman-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Kerr-New-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-, Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter- und Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik.

Algebraische Quantenfeldtheorie

Algebraische Quantenfeldtheorie (kurz AQFT für englisch algebraic quantum field theory)

Literatur

• Vorlage:Citation
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• Romeo Brunetti, Klaus Fredenhagen, Rainer Verch: The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory. In: Communications in Mathematical Physics. 237. Jahrgang, Nr. 1–2, 2003, S. 31–68, doi:10.1007/s00220-003-0815-7, arxiv:math-ph/0112041, bibcode:2003CMaPh.237...31B (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Michael Dütsch, Klaus Fredenhagen: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 13. Jahrgang, Nr. 5, 2009, S. 1541–1599, doi:10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7, arxiv:0901.2038 (englisch, inspirehep.net). 
• Christian Bär, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations (= Lecture Notes in Physics. Band 786). Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02780-2, doi:10.1007/978-3-642-02780-2 (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Claudio Dappiaggi, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Advances in Algebraic Quantum Field Theory (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2015, ISBN 978-3-319-21353-8, doi:10.1007/978-3-319-21353-8 (englisch, springer.com). 
• Kasia Rejzner: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory: An Introduction for Mathematicians (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-25901-7, doi:10.1007/978-3-319-25901-7, arxiv:1208.1428 (englisch, springer.com). 
• Thomas-Paul Hack: Cosmological Applications of Algebraic Quantum Field Theory in Curved Spacetimes (= SpringerBriefs in Mathematical Physics. Band 6). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-21894-6, doi:10.1007/978-3-319-21894-6, arxiv:1506.01869 (englisch, springer.com). 
• Michael Dütsch: From Classical Field Theory to Perturbative Quantum Field Theory (= Progress in Mathematical Physics. Band 74). Birkhäuser, 2019, ISBN 978-3-03004738-2, doi:10.1007/978-3-030-04738-2 (englisch, springer.com). 
• Donald Yau: Homotopical Quantum Field Theory. World Scientific, 2019, ISBN 978-981-12-1287-1, doi:10.1142/11626, arxiv:1802.08101 (englisch, worldscientific.com). 
• Mykola Dedushenko: Snowmass white paper: The quest to define QFT. In: International Journal of Modern Physics A. 38. Jahrgang, 4n05, 2023, doi:10.1142/S0217751X23300028, arxiv:2203.08053 (englisch). 

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie (kurz NCQFT für englisch noncommutative quantum field theory)

Literatur

• Gerhard Grensing: Structural Aspects of Quantum Field Theory and Noncommutative Geometry. World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4472-69-2, doi:10.1142/8771 (englisch). 
• M. R. Douglas and N. A. Nekrasov, (2001). Noncommutative field theory. Rev. Mod. Phys., 73(4), 977.
• Richard J. Szabo (2003) "Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces," Physics Reports 378: 207-99. An expository article on noncommutative quantum field theories.
• Noncommutative quantum field theory, see statistics on arxiv.org
• Valter Moretti (2003), "Aspects of noncommutative Lorentzian geometry for globally hyperbolic spacetimes," Rev. Math. Phys. 15: 1171-1218. An expository paper (also) on the difficulties to extend non-commutative geometry to the Lorentzian case describing causality

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit (kurz QFTCS für englisch quantum field theory in curved spacetime)

Klein-Gordon-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 0 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\square \psi =-\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }\psi \rightsquigarrow -g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\partial _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi =\square \psi +\Gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi .$

Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Dirac-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 1/2 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi \rightsquigarrow \gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi .$

Literatur

• N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum fields in curved space. CUP, 1982, ISBN 0-521-23385-2 (englisch). 
• S. A. Fulling: Aspects of quantum field theory in curved space-time. CUP, 1989, ISBN 0-521-34400-X (englisch). 
• V. Mukhanov, S. Winitzki: Introduction to Quantum Effects in Gravity. CUP, 2007, ISBN 978-0-521-86834-1 (englisch). 
• L. Parker, D. Toms: Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-87787-9 (englisch). 

h-Kobordismus-Satz

Der h-Kobordismus-Satz ist im mathematischen Teilgebiet der Kobordismustheorie

s-Kobordismen

Ein $n+1$-dimensionaler Kobordismus $(W,M,N,i,j)$ besteht aus einer $n+1$-dimensionalen topologischen bzw. glatten bzw. stückweise linearen (PL) Mannigfaltigkeit $W$, $n$-dimensionalen topologischen bzw. glatten bzw. stückweise linearen (PL) Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ sowie Einbettungen $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$, sodass:

$\partial W=i(M)\sqcup j(N).$

Sind die Einbettungen $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ beide Homotopieäquivalenzen, wird $(W,M,N,i,j)$ (oder nur $W$) ein h-Kobordismus genannt.

Weblinks

• h-cobordism und h-cobordism theorem auf nLab (englisch)

s-Kobordismus-Satz

Der s-Kobordismus-Satz ist im mathematischen Teilgebiet der Kobordismustheorie

h-Kobordismen

Sei $(W,M,N,i,j)$ ein $n+1$-dimensionaler Kobordismus, also $W$ eine $n+1$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit, $M$ und $N$ jeweils $n$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeiten sowie $i\colon M\hookrightarrow \partial W$ und $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ jeweils Einbettungen, sodass $\partial W=i(M)\sqcup j(N)$.

Weblinks

• s-cobordism und s-cobordism theorem auf nLab (englisch)

Poincaré-Homologiesphäre

Die Poincaré-Homologiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein

Weblinks

• Poincaré homology sphere auf nLab (englisch)

Pseudokreis

Die Pseudokreis ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein

Weblinks

• pseudocircle auf nLab (englisch)

String-Gruppe

Die String-Gruppe ist

Die String-Gruppe ist eine Überlagerung der Spin-Gruppe und wird selbst von der Fivebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)

String-Struktur

Eine String-Struktur ist

Eine String-Struktur ist ein Spezialfall einer Spin-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• string structure auf nLab (englisch)

Fivebrane-Gruppe

Die Fivebrane-Gruppe ist

Die Fivebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der String-Gruppe und wird selbst von der Ninebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• Fivebrane group und fivebrane 6-group auf nLab (englisch)

Fivebrane-Struktur

Eine Fivebrane-Struktur ist

Eine Fivebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer String-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Ninebrane-Struktur.

Weblinks

• Fivebrane structure auf nLab (englisch)

Ninebrane-Gruppe

Die Ninebrane-Gruppe ist

Die Ninebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der Fivebrane-Gruppe.

Weblinks

• ninebrane group und ninebrane 10-group auf nLab (englisch)

Ninebrane-Struktur

Eine Ninebrane-Struktur ist

Eine Ninebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• ninebrane structure auf nLab (englisch)

M2-Brane

Eine M2-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine zweidimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist elektrisch geladen und koppelt elektrisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M2-Brane mit der M5-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $3$-zusammenhängende Überlagerung, welche als String-Gruppe $\operatorname {String} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $3$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {String} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)$. Diese korrespondiert mit der M2-Brane.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M2-brane auf nLab (englisch)

M5-Brane

Eine M5-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine fünfdimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist magnetisch geladen und koppelt magnetisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M5-Brane mit der M2-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $7$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Fivebrane-Gruppe $\operatorname {Fivebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $7$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Fivebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Fivebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M5-Brane und erklärt ihre Benennung.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M5-brane auf nLab (englisch)

M9-Brane

Eine M9-Brane ist in der Stringtheorie

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $11$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Ninebrane-Gruppe $\operatorname {Ninebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $11$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Ninebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Ninebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M9-Brane und erklärt ihre Benennung.

Weblinks

• M9-brane auf nLab (englisch)

NS5-Brane

Eine NS5-Brane ist in der Stringtheorie

Weblinks

• NS-brane auf nLab (englisch)

Homotopiesphäre

Eine $n$-Homotopiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, welche die gleichen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre hat.

Definition

Eine $n$-Homotopiesphäre ist eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $\Sigma$, welche die gleichen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre $S^{n}$ hat:

$\pi _{k}(\Sigma )=\pi _{k}(S^{n})$

Eigenschaften

Weblinks

• homotopy sphere auf nLab (englisch)

Rationale Homotopiesphäre

Eine rationale $n$-Homotopiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, welche die gleichen rationalen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre hat. Diese dienen unter anderem dem Verständnis, welche Informationen die rationalen Homotopiegruppen eines Raumes messen oder nicht messen können sowie welche Abschwächungen sich dabei durch Vernachlässigung von Torsion im Vergleich zu den (integralen) Homotopiegruppen des Raumes ergeben.

Definition

Eine rationale $n$-Homotopiesphäre ist eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $\Sigma$, welche die gleichen rationalen Homotopiegruppen wie die $n$-Sphäre $S^{n}$ hat:

$\pi _{k}(\Sigma )\otimes \mathbb {Q} =\pi _{k}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=n{\text{ wenn }}n{\text{ gerade}}\\\mathbb {Z} &;k=n,2n-1{\text{ wenn }}n{\text{ ungerade}}\\1&;{\text{sonst}}\end{cases}}.$

Eigenschaften

• Jede (integrale) Homotopiesphäre ist eine rationale Homotopiesphäre.

Beispiele

• Die $n$-Sphäre $S^{n}$ ist trivialerweise eine rationale $n$-Homotopiesphäre.
• Der Pseudokreis (mit einer schwachen Homotopieäquivalenz aus der $1$-Sphäre) ist eine rationale $1$-Homotopiesphäre, die keine $1$-Homotopiesphäre ist.
• Der reelle projektiver Raum $\mathbb {R} P^{n}$ist eine rationale Homotopiesphäre für alle $n>0$. Das Faserbündel $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ impliziert über die lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen, dass $\pi _{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong \pi _{k}(S^{n})$ für $k>1$ und $n>0$ sowie $\pi _{1}(\mathbb {R} P^{1})=\mathbb {Z}$ und $\pi _{1}(\mathbb {R} P^{n})=\mathbb {Z} _{2}$ für $n>1$, was bei Rationalisierung verschwindet. $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ist insbesondere die Sphäre.

Siehe auch

• Rationale Homologiesphäre

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• rational homotopy sphere auf nLab (englisch)

Rationale Homologiesphäre

Eine rationale $n$-Homologiesphäre ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, welche die gleichen rationalen Homologiegruppen wie die $n$-Sphäre hat. Diese dienen unter anderem dem Verständnis, welche Informationen die rationalen Homologiegruppen eines Raumes messen oder nicht messen können sowie welche Abschwächungen sich dabei durch Vernachlässigung von Torsion im Vergleich zu den (integralen) Homologiegruppen des Raumes ergeben.

Definition

Eine rationale $n$-Homologiesphäre ist eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $\Sigma$, welche die gleichen rationalen Homologiegruppen wie die $n$-Sphäre $S^{n}$ hat:

$H_{k}(\Sigma ,\mathbb {Q} )=H_{k}(S^{n},\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n\\1&;{\text{sonst}}\end{cases}}.$

Eigenschaften

• Jede (integrale) Homologiesphäre ist eine rationale Homologiesphäre.
• Jede einfach zusammenhängende rationale $n$-Homologiesphäre mit $n\leq 4$ ist homöomorph zur $n$-Sphäre.

Beispiele

• Die $n$-Sphäre $S^{n}$ ist trivialerweise eine rationale $n$-Homologiesphäre.
• Die Poincaré-Homologiesphäre ist insbesondere eine rationale $3$-Homologiesphäre.
• Die Kleinsche Flasche $K$ hat zwei Dimensionen, aber hat die gleichen rationalen Homologiegruppen wie die $1$-Sphäre, da ihre (integrale) Homologiegruppen gegeben sich durch:

  $H_{0}(K)\cong \mathbb {Z}$

  $H_{1}(K)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$

  $H_{2}(K)\cong 1$

Deshalb ist sie keine rationale Homologiesphäre, aber wäre es, wenn die Bedingung von gleicher Dimension zu sein weggelassen würde.

• Der reelle projektive Raum $\mathbb {R} P^{n}$ ist eine rationale Homologiesphäre für $n$ ungerade, da dessen (integrale) Homologiegruppen gegeben sich durch:

  $H_{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.$

$\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$ist insbesondere die Sphäre.

• Die fünfdimensionale Wu-Mannigfaltigkeit $W=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ ist eine einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre (mit nichttrivialen Homologiegruppen $H_{0}(W)\cong \mathbb {Z}$, $H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und $H_{5}(W)\cong \mathbb {Z}$), welche keine Homotopiesphäre ist.

Siehe auch

• Rationale Homotopiesphäre

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• rational homology sphere auf nLab (englisch)

Draft: Plancksche Relation

Die Plancksche Relation (auch Plancksche Energie-Frequenz-Relation, Planck-Einstein-Relation, Planck-Gleichung oder Planck-Formel) ist ein fundamentaler Zusammenhang aus der Quantenmechanik. mit welcher diese im Jahr 1900 von Max Planck begründet wurde. Gemäß der Planckschen Relation ist die Energie E eines Photons über das Plancksche Wirkungsquantum h mit dessen Frequenz v verbunden durch:

Häufig wird auch eine Umformulierung mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum und der Kreisfrequenz angegeben:

Die Plancksche Relation wurde von Max Planck bei der Betrachtung der Schwarzkörperstrahlung zur Vermeidung von Divergenzen postuliert, wobei das Symbol h für Hilfsgröße stand. Später zeigte sich die Bedeutung ebenfalls bei der Erklärung weiterer Phänomene, wie etwa dem photoelektrischen Effekt durch Albert Einstein im Jahr 1905 (ausgezeichnet mit dem Nobelpreis für Physik im Jahr 1921).

Draft: Eddington-Experiment

Das Eddington-Experiment

Draft: Eddington-Zahl

Die Eddington-Zahl gibt in der Astrophysik die Anzahl der Protonen im beobachtbaren Universum an.

Draft: Ein-Elektron-Universum

Das Ein-Elektron-Universum ist eine Hypothese, gemäß der sämtliche Elektronen und Positronen in Wahrheit nur ein einziges Objekt seien, welches sich sowohl vorwärts als auch rückwärts in der Zeit bewegt. Die Idee wurde im Frühling 1940 von John Wheeler in einem Telefonat mit Richard Feynman vorgeschlagen.

QED-Vakuum

Das QED-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED).

Siehe auch

• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QED vacuum auf nLab (englisch)

QCD-Vakuum

Das QCD-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD).

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QCD vacuum auf nLab (englisch)

Theta-Vakuum

Das Theta-Vakuum ist

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)

Weblinks

• theta vacuum auf nLab (englisch)

Twistor-Raum

Der Twistor-Raum ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Eigenbezeichnung für den dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$, welcher den Raum der Lösungen der Twistor-Gleichung beschreibt sowie als Totalraum in der Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) auftaucht.

Literatur

• R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42268-X (englisch). 
• S.A. Huggett, K.P. Tod: An introduction to twistor theory. Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-45689-0 (englisch). 

Weblinks

• twistor space auf nLab (englisch)

Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel $\mathbb {C} P^{1}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre $S^{4}$ als Basisraum.

Weblinks

• twistor fibration auf nLab (englisch)

Twistor-Stringtheorie

Die Twistor-Stringtheorie ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Äquivalenz zwischen N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorie und dem B-Modell der topologischen Stringtheorie.

Weblinks

• twistor string theory auf nLab (englisch)

Twistor-Korrespondenz

Die Twistor-Korrespondenz (auch Penrose-Ward-Korrespondenz) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Verbindung zwischen vierdimensionaler Yang-Mills-Theorie und komplexer Geometrie.

Nichtlineare Zeit

Nichtlineare Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches den geordneten Ablauf der Zeit etwa durch die Verwendung zukünftiger Zustände bei der Beschreibung zeitabhängiger Systeme missachtet. Dabei bezieht sich die Benennung als nichtlinear auf den fehlenden Determinismus zu einem gegebenen Zeitpunkt und bedeutet nicht, dass die zugrundeliegenden Gleichungen nichtlinear sind.

Siehe auch

• Imaginäre Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Permutation City (1994), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über die nichtlineare Simulation von Zeit für ein digitales Bewusstsein nach Mind uploading
• Story of Your Life (1998), Science-Fiction-Kurzgeschichte von Ted Chiang über die nichtlineare Wahrnehmung von Zeit
• Arrival (2016), Verfilmung von Story of Your Life von Denis Villeneuve

Imaginäre Zeit

Imaginäre Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Verbindung verschiedener Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als imaginär auf die bei der mathematischen Beschreibung durch die Wick-Rotation vorkommende imaginäre Einheit und bedeutet nicht, dass imaginäre Zeit ein spekulatives oder fiktives Konzept ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung.

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Orthogonal-Trilogie (2011-2013), Science-Fiction-Trilogie von Greg Egan bestehend aus The Clockwork Rocket (2011), The Eternal Flame (2012) und The Arrows of Time (2013) über ein Universum, welches auf einer Riemannschen statt Lorentzschen Mannigfaltigkeit basiert, also durch Wick-Rotation aus unserem Universum entsteht, und die andere Funktionsweise von Zeit in diesem, durch die es etwa möglich wird, Nachrichten aus der eigenen Zukunft zu empfangen

Mehrdimensionale Zeit

Mehrdimensionale Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Betrachtung allgemeinerer Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als mehrdimensional auf die mathematische Beschreibung und bedeutet nicht, dass die Zeitwahrnehmung tatsächlich mehrdimensional ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung. Daneben gibt es jedoch auch philosophische Überlegungen zu einer mehrdimensionalen Zeitwahrnehmung.

Verwendung in der Physik

In der Supergravitation (kurz SUGRA), einer Kombination aus Supersymmetrie (kurz SUSY) und Gravitation (beschrieben durch die Allgemeine Relativitätstheorie), sowie speziell in der elfdimensionalen und höherdimensionalen Supergravitation ist mehrdimensionale Zeit für die Erweiterung von elf auf zwölf Dimensionen notwendig. Im Jahr 1978 zeigte der deutsche Physiker Werner Nahm, dass in einer Raumzeit mit mehr als elf Dimensionen (bei einer Zeitdimension) zwangsläufig Teilchen mit einem größeren Spin als das Graviton, dem Quant der Gravitation, enthalten sein müssen. Jedoch haben die Spinoren der Teilchen erst in einer Raumzeit mit mehr als zwölf Dimensionen (bei einer Zeitdimension) zwangsläufig mehr als 32 Dimensionen. Mit elf Raumdimensionen und einer Zeitdimension treten Majorana- und Weyl-Spinoren mit 64 Dimensionen auf, doch mit zehn Raumdimensionen und zwei Zeitdimensionen gibt es einen kombinierten Majorana-Weyl-Spinor mit nur 32 Dimensionen.

Im Jahr 1995 verwendete der iranische-US-amerikanische Physiker Cumrun Vafa darauf aufbauend eine Raumzeit mit zehn Raumdimensionen und zwei Zeitdimensionen für die Formulierung der F-Theorie. Deren Kompaktifizierung über dem 2-Torus mit einer Raum- und einer Zeitdimension führt auf die Typ IIB Stringtheorie für eine Raumzeit mit neun Raumdimensionen und einer Zeitdimensionen. Dies bedeutet, dass für eine zehndimensionale glatte Mannigfaltigkeit $M^{10}$ die F-Theorie auf $M^{10}\times T^{2}$ äquivalent zur Typ IIB Stringtheorie auf $M^{10}$ ist.

Im Jahr 1997 argumentierte der schwedisch-US-amerikanische Wissenschaftsphilosoph Max Tegmark, dass in einem Universum mit mehr als einer Zeitdimension ein physikalisches System nicht zuverlässig mithilfe von partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden kann sowie Protonen und Elektronen in massivere Teilchen zerfallen können, sofern ihre Temperatur nicht hinreichend klein ist.

Literatur

• Itzhak Bars: Two-Time Physics. 4. September 1998, arxiv:hep-th/9809034. 
• Itzhak Bars: Gauge Symmetry in Phase Space, Consequences for Physics and Spacetime. In: International Journal of Modern Physics A. 25. Jahrgang, Nr. 29, 20. November 2010, ISSN 0217-751X, S. 5235–5252, doi:10.1142/s0217751x10051128, arxiv:1004.0688, bibcode:2010IJMPA..25.5235B (englisch). 

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Imaginäre Zeit
• Dichronauts (2017), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über ein Universum mit zwei Zeitdimensionen

Fréchet-Mannigfaltigkeit

Eine Fréchet-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Fréchet-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Fréchet-Mannigfaltigkeiten in der Differentiationstheorie, etwa beim Nash-Moser-Umkehrsatz. Benannt sind Fréchet-Mannigfaltigkeiten nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum sowie jeder Banach-Raum insbesondere ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit sowie jede Banach-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Fréchet-Raumes und dadurch insbesondere jeder Fréchet-Raum ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.
• Für diffeomorphe glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ ist $\operatorname {Diff} (X,Y)$ eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Einbettung

Für Fréchet-Mannigfaltigkeiten gibt es ähnlich zum Whitneyschen Einbettungssatz für glatte Mannigfaltigkeiten ebenfalls einen Einbettungssatz, jedoch mit Einschränkungen. David Henderson bewies im Jahr 1969, dass jede unendlichdimensionale separable metrische Fréchet-Mannigfaltigkeit sich als offene Menge in den (bis auf Isomorphie eindeutigen) unendlichdimensionale separablen Hilbert-Raum (oft identifiziert mit $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$) einbetten lässt. Insbesondere gilt dieses Resultat auch für unendlichdimensionale separable metrische Banach-Mannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet manifold auf nLab (englisch)

Litearatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 
• David W. Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75. Jahrgang, Nr. 4, 1969, S. 759–762, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 (englisch). 

Hilbert-Mannigfaltigkeit

Eine Hilbert-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Hilbert-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Hilbert-Mannigfaltigkeiten in der Floer-Theorie, etwa bei XXXX. Benannt sind Hilbert-Mannigfaltigkeit nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum insbesondere ein Banach-Raum sowie ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Banach-Mannigfaltigkeit sowie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Hilbert-Raumes und dadurch insbesondere jeder Hilbert-Raum ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert manifold auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Gruppe

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Hilbert-Lie-Gruppen (genau wie Hilbert-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Hilbert-Lie-Gruppen nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert Lie group auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Algebra

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Hilbert-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Hilbert-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Hilbert-Lie-Algebren nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist ein Hilbert-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Banach-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Hilbert Lie algebra auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Gruppe

Eine Banach-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Banach-Lie-Gruppen (genau wie Banach-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Banach-Lie-Gruppen nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Gruppe ist eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

• Für eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ und eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $Y$ ist $C^{k}(X,Y)$ eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Fréchet-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Banach Lie group auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Algebra

Eine Banach-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Banach-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Banach-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Banach-Lie-Algebren nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Algebra ist ein Banach-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Banach Lie algebra auf nLab (englisch)

Fréchet-Lie-Gruppe

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Lie-Gruppen (genau wie Fréchet-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Fréchet-Lie-Gruppen nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion glatt sind.

Beispiele

• Für eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist ihre Diffeomorphismengruppe $\operatorname {Diff} (X)$ eine Fréchet-Lie-Gruppe.

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet Lie group auf nLab (englisch)

Literatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 

Fréchet-Lie-Algebra

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Fréchet-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Fréchet-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Fréchet-Lie-Algebren nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist ein Fréchet-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Banach-Lie-Algebra

Weblinks

• Fréchet Lie algebra auf nLab (englisch)

Smith-Raum

Ein Smith-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Brauner-Raum

Weblinks

• Smith space auf nLab (englisch)

Brauner-Raum

Ein Brauner-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Smith-Raum

Weblinks

• Brauner space auf nLab (englisch)

Gravitative Instantone

Eine gravitative Instantone ist

Siehe auch

• Gravitative Anomalie

Gravitative Anomalie

Eine gravitatie Anomalie ist

Siehe auch

• Gravitative Instantone

De-Rham-Invariante

Die De-Rham-Invariante ist

Weblinks

• de Rham invariant auf nLab (englisch)Literatur

Casson-Invariante

Die Casson-Invariante ist

Weblinks

• Casson invariant auf nLab (englisch)

Literatur

Rokhlin-Theorem

Das Rokhlin-Theorem ist

Weblinks

• Rokhlin's theorem auf nLab (englisch)

Literatur

Draft: LessWrong

LessWrong ist ein öffentlicher Blog und Forum zur Diskussion von kognitiver Verzerrung, Philosphie, Psychologie, Wirtschaft, Rationalität und künstliche Intelligenz sowie weiteren verwandten Themen. LessWrong erlangte vor allem Bekanntheit durch die dort entstandene Überlegung von Rokos Basilisk.

Geschichte

LessWrong entstand aus dem früheren Blog

Neoreaktion

Die neoreaktionäre Bewegung wuchs zuerst auf LessWrong und zog viele Benutzer von der Seite der Eugenik und evolutionären Psychologie an. Yudkowsky lehnte die Neoreaktion stark ab. In einer Umfrage auf LessWrong aus dem Jahr 2016 identifizierten sich 28 von 3060 Benutzer (0,92 %) als „neoreaktionär“.

Effektiver Altruismus

LessWrong played a significant role in the development of the effective altruism (EA) movement, and the two communities are closely intertwined. In a survey of LessWrong users in 2016, 664 out of 3,060 respondents, or 21.7%, identified as "effective altruists". A separate survey of effective altruists in 2014 revealed that 31% of respondents had first heard of EA through LessWrong, though that number had fallen to 8.2% by 2020. Two early proponents of effective altruism, Toby Ord and William MacAskill, met transhumanist philosopher Nick Bostrom at Oxford University. Bostrom's research influenced many effective altruists to work on existential risk reduction.

Weblinks

• LessWrong

Einzelnachweise

[[Kategorie:Webforum]]

[[Kategorie:Gergründet 2009]]

Draft: Teranesia

Teranesia ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe erschien XXXX. Die deutsche Ausgabe erschien XXXX. Der Roman beschreibt XXXX. Greg Egan sagte vor Veröffentlichung, der Roman behandle Evolution, die Indian Rationalists Association, den Zusammenbruch von Indonesien, Quantenmechanik und Sex. ("It’s about evolution, the Indian Rationalists Association, the breakup of Indonesia, quantum mechanics, and sex.")

Handlung

Kritik

Weblinks

• Offizielle Webseite
• Teranesia in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Ausschnitt aus Teranesia (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Draft: Peterson-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Peterson-Raum ein CW-Komplex, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Kohomologiegruppe hat und ist daher die kohomologische Analogie eines Eilenberg–MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine endlich generierte abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\geq 3$ ist ein einfach zusammenhängender (wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) CW-Komplex $X$, dessen reduzierte singuläre Kohomologiegruppen gegeben sind durch:

${\widetilde {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.$

ein Peterson-Raum vom Typ $P(G,n)$. Ein Peterson-Raum ist eindeutig bis auf schwache Homotopieäquivalenz, was die eigenständige Notation begründet. Peterson-Räume müssen nicht immer existieren, etwa gibt es keine für den rationalen Körper $\mathbb {Q}$.

Lemmata

Beispiele

Siehe auch

• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Moore-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Homologie.

Draft: Hopf-Konstruktion

Reele Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{0}$ ist diffeomorph zur orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die reele Hopf-Faserung $S^{1}\rightarrow S^{1}$.

Eine alternative Konstruktion der reellen Hopf-Faserung mithilfe von reell projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1},(x,y)\mapsto [x:y]$.

Die Homotopieklasse der reellen Hopf-Faserung ist zweiten Grades und daher kein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Komplexe Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{1}$ ist diffeomorph zur unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (1)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die komplexe Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Eine alternative Konstruktion der komplexen Hopf-Faserung mithilfe von komplex projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {C} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$.

Die komplexe Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.
• Ihre Einhängung ist der Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{1}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.

Quaternionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{3}$ ist diffeomorph zur speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7}\rightarrow S^{4}$.

Eine alternative Konstruktion der quaternionischen Hopf-Faserung mithilfe von quaternionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {H} ^{2}\rightarrow \mathbb {H} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$.

Die quaternionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{7}(S^{4})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{12}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{3}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{24}$.

Oktonionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{7}$ ist mit der Moufang-Struktur eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die oktonionsiche Hopf-Faserung $S^{15}\rightarrow S^{8}$.

Eine alternative Konstruktion der oktonionischen Hopf-Faserung mithilfe von oktonionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {O} ^{2}\rightarrow \mathbb {O} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {O} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{16}\supset S^{15}\rightarrow S^{8}\cong \mathbb {O} P^{1},(o,n)\mapsto [o:n]$.

Die oktonionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{15}(S^{8})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{120}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{7}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{240}$

Draft: Yang-Mills-Gleichungen

Das Yang–Mills-Gleichungen sind in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und der Mathematischen Eichtheorie auftauchende partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Vektor- oder Hauptfaserbündel. Eine wichtige Anwendung ihres Modulraumes ist der Beweis des Donaldson-Theorems.

Selbtduale und antiselbstduale Yang–Mills-Gleichungen

Ein wichtiger Spezialfall der Yang–Mills-Gleichungen ergibt sich über einer vierdimensionalen Basismannigfaltigkeit $B$ (wie etwa beim Beweis des Donaldson-Theorems), da der Hodge-Stern-Operator dann eine Involution:

$\star \colon \Omega ^{2}(B)\rightarrow \Omega ^{2}(B)$

(also mit $\star ^{2}=\operatorname {id}$) ist und sich daher durch die Eigenräume der möglichen Eigenwerte $\pm 1$ eine Aufteilung in eine direkte Summe:

$\Omega ^{2}(B)=\Omega _{-}^{2}(B)\oplus \Omega _{+}^{2}(B)$

ergibt. Völlig analog gilt dies für die Räume der vektorwertigen Differentialformen auf $B$ wie etwa mit Werten im adjungierten Bündel $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}$. Ein Zusammenhang $A\in \Omega _{\mathrm {Ad} }^{1}(E;{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B;\operatorname {Ad} (E))$ mit

• $F_{A}\in \Omega _{+}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=F_{A}$, wird selbstdual
• $F_{A}\in \Omega _{-}^{2}(B;\operatorname {Ad} (E))$, also $\star F_{A}=-F_{A}$, wird antiselbstdual

genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfallen. Die selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=F_{A}$ werden auch als SDYM-Gleichungen und die antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen $\star F_{A}=-F_{A}$ werden auch als ASDYM-Gleichungen abgekürzt.

Dimensionsreduktion

Eine Einschränkung auf unter einer vorgegebenen Symmetrie invarianten Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen über einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit wird als Dimensionsreduktion bezeichnet. Typischerweise wird dabei der vierdimensionale euklidische Raum verwendet. Etwa ergeben sich die Sinus-Gordon-Gleichung und die Korteweg-deVries-Gleichung durch Dimensionsreduktion der $\operatorname {SU} (2)$ ASDYM-Gleichungen und die Tzitzeica-Gleichung ergibt sich durch Dimensionsreduktion der $\operatorname {SL} _{3}(\mathbb {R} )$ ASDYM-Gleichungen.

Weblinks

• Yang-Mills equation auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Draft: Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

Das Yang–Mills–Higgs-Gleichungen sind in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und der Mathematischen Eichtheorie auftauchende nichtlineare partielle Differentialgleichungen für Zusammenhänge auf einem Vektor- oder Hauptfaserbündel und Schnitte in derem dualen Vektorbündel.

Weblinks

• Einstein-Yang-Mills-Dirac-Higgs theory auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 2 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 2 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Konstruktion des Yang-Mills-Maßes auf dem Raum aller Zusammenhänge des Hauptfaserbündels sowie ihren Orbiträumen bezüglich der Eichgruppe. Außerdem sind alle Yang-Mills-Zusammenhänge bereits Yang-Mills-Higgs-Zusammenhänge, wobei sich ein entsprechendes nicht unbedingt triviales Higgs-Feld direkt aus diesen konstruieren lässt. Eine zentrale Anwendung findet die zweidimensionale Yang-Mills-Theorie in einer zweidimensionalen Formulierung der Quantenchromodynamik (auch ’t Hooft-Modell genannt), welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 2-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ zweidimensional ist, kann $\operatorname {tr} (F_{A})\in \Omega ^{2}(B)$ (auch notiert als $\langle F_{A}\rangle$) über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies die erste Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}$):

$\langle c_{1}(E),[B]\rangle =\langle c_{1}(\operatorname {Ad} (E)),[B]\rangle =-{\frac {i}{2\pi }}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A})\in \mathbb {Z} .$

Die Kronecker-Paarung der ersten Chern-Klasse $c_{1}(E)=c_{1}(\operatorname {Ad} (E))\in H^{2}(B;\mathbb {Z} )$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_{2}(B,\mathbb {Z} )$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.

Spezialfall

Yang-Mills-Higgs-Gleichungen

In den Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_{A}$ angewendet. Da $B$ eine 2-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies eine 0-Form $\star F_{A}\in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))=\Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem eines Higgs-Feldes $\Phi$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Yang-Mills-Zusammenhang $A$, also eine Lösung der Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, ist sogar ein Yang-Mills-Higgs-Zusammenhang für das nicht unbedingt triviale Higgs-Feld $\Phi =\star F_{A}$, also eine Lösung der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen:

$\star \mathrm {d} _{A}\star F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ]=0;$

$\mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =0.$

Dies folgt einfach daraus, dass die beiden Terme des Higgs-Feldes herausfallen:

$\mathrm {d} _{A}\Phi =\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0.$

Yang-Mills-Maß

Anwendung auf die 2-Sphäre

Eine einfache 2-Mannigfaltigkeit ist die 2-Sphäre $S^{2}$. Die komplexe Hopf-Faserung ist etwa ein $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel über $S^{2}$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in drei Dimensionen (auch Dirac-Monopol genannt):

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(S^{2})\cong [S^{2},\operatorname {BU} (1)]=\pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z}$

Dabei ist $\operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\operatorname {U} (1)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb {Z}$ und die komplexe Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb {Z}$.

Siehe auch

• Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Literatur

• Gerard ’t Hooft: A Two-Dimensional Model For Mesons. In: Nucl. Phys. B. Band 75, 1974, S. 461–470, doi:10.1016/0550-3213(74)90088-1 (englisch). 
• Dana S. Fine: Quantum Yang-Mills on the two-sphere. In: Communications in Mathematical Physics. Band 134, 1990, S. 273–292, doi:10.1007/BF02097703 (englisch). 
• Dana S. Fine: Quantum Yang-Mills on a Riemann surface. In: Communications in Mathematical Physics. Band 140, 1991, S. 321–338, doi:10.1007/BF02099502 (englisch). 
• Ambar Sengupta: The Yang-Mills measure for S2. In: Journal of Functional Analysis. Band 108, Nr. 2, 1992, S. 231–273, doi:10.1016/0022-1236(92)90025-E (englisch). 
• Ambar Sengupta: Quantum Gauge Theory on Compact Surfaces. In: Annals of Physics. Band 221, Nr. 1, 1993, S. 17–52, doi:10.1006/aphy.1993.1002 (englisch). 

Weblinks

• D=2 Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie

Vierdimensionale Yang-Mills-Theorie (auch D = 4 Yang-Mills-Theorie, kurz D = 4 YM) ist in der Differentialgeometrie der Spezialfall der Yang-Mills-Theorie über einer Basismannigfaltigkeit mit vier Dimensionen. Dieser Spezialfall erlaubt die Reduktion der Yang-Mills-Gleichungen zweiter Ordnung auf die einfacheren (anti)selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen erster Ordnung. Eine zentrale Anwendung findet die vierdimensionale Yang-Mills-Theorie in der mathematischen Formulierung der Quantenchromodynamik, welche die starke Wechselwirkung beschreibt.

Grundlagen

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit ist. Es sei $A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ein Zusammenhang und $F_{A}:=\mathrm {d} _{A}A=\mathrm {d} A+[A\wedge A]\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{2}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$ dessen Krümmungsform. Da $B$ vierdimensional ist, kann $\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \Omega ^{4}(B)$ (auch notiert als $\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle$) über dieser integriert werden (wofür die Riemannsche Struktur notwendig ist). Gemäß der Chern-Weil-Theorie ergibt dies die zweite Chern-Klasse des Hauptfaserbündels (definiert als die des assoziierten Vektorbündels $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}$):

$\langle c_{2}(E),[B]\rangle =\langle c_{2}(\operatorname {Ad} (E)),[B]\rangle =-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{B}\operatorname {tr} (F_{A}\wedge F_{A})\in \mathbb {Z} .$

Die Kronecker-Paarung der zweiten Chern-Klasse $c_{2}(E)=c_{2}(\operatorname {Ad} (E))\in H^{4}(B;\mathbb {Z} )$ mit der durch die (ebenso im Integral eingehende) Orientierung gegebenen Fundamentalklasse $[B]\in H_{4}(B,\mathbb {Z} )$ wird dabei zur Vereinfachung auch oft weggelassen. In diesem Fall vergleicht die Gleichung jedoch eine Kohomologieklasse mit einer ganzen Zahl.

Spezialfall

In den Yang-Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$ wird noch zusätzlich der Hodge-Stern-Operator $\star$ auf die Krümmungsform $F_{A}$ angewendet. Da $B$ eine 4-Mannigfaltigkeit ist, ergibt dies wieder eine 2-Form $\star F_{A}\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))$. Daher ist der Grad nur in dieser Dimension identisch mit dem der Krümmungsform $F_{A}$, wodurch sich eine spezielle Eigenschaft ergibt. Ein Zusammenhang $A$, welcher eine Lösung der:

• selbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) $\star F_{A}=F_{A}$ ist, wird selbstdual
• antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) $\star F_{A}=-F_{A}$ ist, wird antiselbstdual

genannt. Solche Zusammenhänge sind trivialerweise Lösungen der Yang–Mills-Gleichungen $\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$, da diese dann einfach auf die Bianchi-Identität $\mathrm {d} _{A}F_{A}=0$ zurückfallen.

Anwendung auf die 4-Sphäre

Eine einfache 4-Mannigfaltigkeit ist die 4-Sphäre $S^{4}$. Die quaternionische Hopf-Faserung ist etwa ein $\operatorname {Sp} (1)$-Hauptfaserbündel über $S^{4}$. Zudem korrespondieren derartige Hauptfaserbündel mit der Quantisierung der Ladung eines magnetischen Monopols in fünf Dimensionen (auch Wu-Yang-Monopol genannt):

$\operatorname {Prin} _{\operatorname {Sp} (1)}(S^{4})\cong [S^{4},\operatorname {BSp} (1)]=\pi _{4}\operatorname {BSp} (1)\cong \pi _{3}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{3}S^{3}\cong \mathbb {Z}$

Dabei ist $\operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }$ der klassifizierende Raum der Eichgruppe $\operatorname {Sp} (1)$. Das triviale Hauptfaserbündel entspricht $0\in \mathbb {Z}$ und die quaternionische Hopf-Faserung entspricht $1\in \mathbb {Z}$.

Siehe auch

• Zweidimensionale Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=4 Yang-Mills theory und self-dual Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz SYM) bezieht sich auf:

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz N = 1 SYM) ist eine relativistische Eichtheorie, welche Supersymmetrie (kurz SUSY) und Yang-Mills-Theorie (kurz YM-Theorie) miteinander kombiniert.

Siehe auch

• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=3 N=1 super Yang-Mills theory und D=4 N=1 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Seiberg-Witten-Theorie

Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie, kurz N = 2 SYM) ist

Siehe auch

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

Weblinks

• D=3 N=2 super Yang-Mills theory und D=4 N=2 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie

N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie (kurz N = 4 SYM) ist eine relativistische Eichtheorie, welche Supersymmetrie (kurz SUSY) und Yang-Mills-Theorie (kurz YM-Theorie) miteinander kombiniert.

Verbindung zu anderen Theorien

D = 4 N = 4 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie und D = 6 N = 2 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie ergeben sich beide durch Dimensionsreduktion mithilfe von Kompaktifizierung aus der D = 10 N = 1 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie. D = 4 N = 8 Supergravitation lässt sich durch die Formulierung über Feynman-Diagramme als Produkt zweier N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorien darstellen und enthält sechs unabhängige Darstellungen von dieser.

Siehe auch

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• Seiberg-Witten-Theorie (Infrarotgrenzwert der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie)

Literatur

• Stephen Naculich: All-loop-orders relation between Regge limits of N = 4 SYM and N = 8 supergravity four-point amplitudes. In: Journal of High Energy Physics. 2021, doi:10.1007/JHEP02(2021)044, arxiv:2012.00030. 

Weblinks

• D=3 N=4 super Yang-Mills theory und D=4 N=4 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem

Das Yang-Mills-Existenz- und Massenlückeproblem ist

Literatur

• R. Streater, A. Wightman: PCT, Spin and Statistics and all That. W. A. Benjamin, 1964 (englisch, archive.org). 
• K. Osterwalder, R. Schrader: Axioms for Euclidean Green's functions. In: Communications in Mathematical Physics. 31. Jahrgang, Nr. 2, 1973, S. 83–112, doi:10.1007/BF01645738, bibcode:1973CMaPh..31...83O (englisch, projecteuclid.org). 
• K. Osterwalder, R. Schrader: Axioms for Euclidean Green's functions II. In: Communications in Mathematical Physics. 42. Jahrgang, Nr. 3, 1975, S. 281–305, doi:10.1007/BF01608978, bibcode:1975CMaPh..42..281O (englisch, projecteuclid.org). 
• N. Bogoliubov, A. Logunov, Oksak, I. Todorov: General Principles of Quantum Field Theory. Kluver, 1990 (englisch). 
• F. Strocchi: Selected Topics of the General Properties of Quantum Field Theory FF. World Scientific, 1994 (englisch). 
• A. Dynin: Quantum Yang-Mills-Weyl dynamics in the Schroedinger paradigm. In: Russian Journal of Mathematical Physics. 21. Jahrgang, Nr. 2, 2014, S. 169–188, doi:10.1134/S1061920814020046, bibcode:2014RJMP...21..169D (englisch). 
• A. Dynin: On the Yang-Mills Mass Gap problem. In: Russian Journal of Mathematical Physics. 21. Jahrgang, Nr. 3, 2014, S. 326–328, doi:10.1134/S1061920814030042, bibcode:2014RJMP...21..326D (englisch). 
• G. Bushhorn, J. Wess: Heisenberg Centennial Symposium "Developments in Modern Physics". Springer, 2004 (englisch). 

Geeichte Supergravitation

Geeichte Supergravitation (kurz Geeichte SUGRA) ist

Konforme Supergravitation

Konforme Supergravitation (kurz Konforme SUGRA) ist eine Kombination

Draft: Balanciertes Produkt

Das balancierte Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Produkt für G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Produkt der zugrundeliegenden topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit der Bildung eines Quotienten. Anwendung findet das balancierte Produkt bei der Konstruktion von Hauptfaserbündeln.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen $G$-Rechtsraum $X$ und einen $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\times _{G}Y:=(X\times Y)/\sim$

mit der Äquivalenzrelation $(xg,y)\sim (x,yg)$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Sei $G$ eine topologische Gruppe, $H<G$ eine Untergruppe, $X$ ein $G$-Rechtsraum und $Y$ ein $G$-Linksraum.

• Es gilt $X\times _{G}\{*\}\cong X/G$. Analog gilt $\{*\}\times _{G}Y\cong G\backslash Y$.
• Es gilt $X\times _{G}G\cong G$. Analog gilt $G\times _{G}Y\cong Y$.
• Es gilt $X\times _{G}(G/H)\cong X/H$. Analog gilt $(H\backslash G)\times _{G}Y\cong H\backslash Y$.

Seien $G$ und $H$ topologische Gruppen, $X$ ein $G$-Rechtsraum, $Y$ ein $(G,H)$-Raum und $Z$ ein $G$-Linksraum.

• Das balancierte Produkt ist assoziativ. Es gilt $(X\times _{G}Y)\times _{H}Z\cong X\times _{G}(Y\times _{H}Z)$.

Anwendung für Hauptfaserbündel

Für einen Körper $\mathbb {K}$ wirkt eine Untergruppe $G<\operatorname {GL} _{n}\mathbb {K}$ auf $\mathbb {K} ^{n}$ von links durch Matrizenmultiplikation. Für ein $G$-Hauptfaserbündel $\pi \colon E\rightarrow B$ (wobei $G$ auf $E$ von rechts wirkt und $\pi$ unter dieser Wirkung invariant ist, also $\pi (eg)=\pi (e)$ für alle $g\in G$ und $e\in E$) lässt sich das balancierte Produkt $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}$ bilden und die Abbildung $E\times _{G}\mathbb {K} ^{n}\rightarrow B,[(e,x)]\mapsto \pi (e)$ ist wohldefiniert.

Siehe auch

• Balanciertes Smash-Produkt, analoge Definition für punktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Balanciertes Smash-Produkt

Das balancierte Smash-Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Smash-Produkt für punktierte G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Smash-Produkt der zugrundeliegenden punktierten topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit die Bildung eines Quotienten.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen punktierten $G$-Rechtsraum $X$ und einen punktierten $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\wedge _{G}Y:=(X\wedge Y)/\sim$

mit der wohldefinierten Äquivalenzrelation $[(xg,y)]\sim [(x,yg)]$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Smash-Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Siehe auch

• Balanciertes Produkt, analoge Definition für nichtpunktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Lokaler Hausdorff-Raum

Ein lokaler Hausdorff-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei verschiedene Punkte zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten, wird Hausdorff-Raum (oder hausdorffsch) genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie ein Hausdorff-Raum ist, wird lokaler Hausdorff-Raum (oder lokal hausdorffsch) genannt. Oft wird statt einer hausdorffschen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus hausdorffschen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal hausdorffsch genannt.

Lemmata

• Hausdorff-Räume sind lokale Hausdorff-Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines Hausdorff-Raumes wieder ein Hausdorff-Raum ist.
• Lokale Hausdorff-Räume sind T₁-Räume.
• Lokale Hausdorff-Räume sind nüchtern.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit zwei Ursprüngen (definiert als $\mathbb {R} \times \{0,1\}/\sim$ mit $(x,0)\sim (x,1)$ für $x\neq 0$) sind lokal hausdorffsch, aber nicht hausdorffsch.

Weblinks

• locally Hausdorff topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal regulärer Raum

Ein lokal regulärer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) regulär ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für jede abgeschlossene Teilmenge und jeden Punkt, welcher in dieser nicht enthalten ist, zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils die abgeschlossene Teilmenge und den Punkt enthalten, wird regulär genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie regulär ist, wird lokal regulär genannt. Oft wird statt einer regulären Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus regulären Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal regulär genannt.

Lemmata

• Reguläre Räume sind lokal reguläre Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines regulären Raumes wieder ein regulärer Raum ist.
• Lokal reguläre T₁-Räume sind lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass reguläre T₁-Räume hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• XXXX ist lokal regulär, aber nicht regulär.

Weblinks

• locally regular space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal normaler Raum

Ein lokal normaler Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) normal ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der abgeschlossenen Teilmengen enthalten, wird normal genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie normal ist, wird lokal normal genannt. Oft wird statt einer normalen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus normalen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal normal genannt.

Lemmata

• Normale Räume sind lokal normale Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines normalen Raumes wieder ein normaler Raum ist.
• Lokal normale T₁-Räume sind lokal regulär und lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass normale T₁-Räume regulär und hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der kofiniten Topologie sind ein T₁-Raum, welcher nicht lokal normal ist.

Weblinks

• locally normal space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Arnold-Vermutung

Die Arnold-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Fixpunkten eines nichtdegenerierten Hamiltonschen Symplektomorphismus auf ihr verbindet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold. Die Arnold-Vermutung ist eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré–Birkhoff.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Arnold–Givental-Vermutung

Weblinks

• Arnold conjecture auf nLab (englisch)

Literatur

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch). 

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Draft: Arnold–Givental-Vermutung

Die Arnold–Giventhal-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Schnittpunkten mit einer anderen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit verbindet, welche aus der ursprünglichen durch eine Hamiltonsche Isotopie hervorgeht und diese transversal schneidet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold und Alexander Giventhal.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und $L\subset M$eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit, also darstellbar als Fixpunktmenge einer antisymplektischen Involution $f\colon M\rightarrow M$, also sodass $f\circ f=\operatorname {id} _{M}$ und $f^{*}\omega =-\omega$.

Die Arnold-Vermutung ist ein Spezialfall der Arnold–Givental-Vermutung. Eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ erzeugt eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M\times M,(-\omega )\oplus \omega )$, auf welcher der Koordinatentausch $M\times M\rightarrow M\times M,(x,y)\mapsto (y,x)$ eine antisymplektische Involution ist. Deren Fixpunktmenge ist die Diagonale $\Delta _{M}:=\{(x,x)|x\in M\}$, weshalb diese eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist. Für eine XXXX $f\colon M\rightarrow M$ ist ihre Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)$ genau der Schnitt $\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M}$.

$\#\operatorname {Fix} (f)=\#(\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M})$

Status

Die Arnold-Giventhal-Vermutung wurde für einige Spezialfälle bewiesen:

• Alexander Givental selbst bewies 1989 den Spezialfall für $(M,L)=(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {R} P^{n})$.
• Yong-Geun Oh bewies 1995 den Spezialfall von zusätzlichen Annahmen an den Maslov-Index.
• Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hirosh Otha und Kaoru Ona bewiesen 2000 den Speziallfall für semipositive symplektische Mannigfaltigkeiten.
• Urs Frauenfelder bewies 2004 den Spezialfall für bestimmte symplektische Reduktionen unter Verwendung von Floer-Homologie.

Siehe auch

• Arnold-Vermutung

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Fehlt:

Für XXXX ist $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ sogar eine Lie-Gruppe. Ihre zugehörige Lie-Algebra ${\mathfrak {Ham}}(M,\omega )$ ist in diesem Fall die der Hamiltonschen Vektorfelder.

Diese ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

Definition auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle Poisson-Mannigfaltigkeiten, da die symplektische Form eine Poisson-Klammer erzeugt. Für Hamilton-Funktionen $G,H\in C^{\infty }(M)$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ gilt dadurch der Zusammenhang:

,

durch den Hamiltonsche Vektorfelder allgemeiner auf Poisson-Mannigfaltigkeiten definiert werden können.

Lemmata auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

XXXX

$\mathrm {d} F(X_{aG+bH})=\{F,aG+bH\}=a\{F,G\}+a\{F,H\}=a\mathrm {d} F(X_{G})+b\mathrm {d} F(X_{H})=\mathrm {d} F(aX_{G}+bX_{H})$

$\mathrm {d} F(X_{GH})=\{F,GH\}=G\{F,H\}+\{F,G\}H=G\mathrm {d} F(X_{H})+\mathrm {d} F(X_{G})H=\mathrm {d} F(GX_{H}+HX_{G})$

Draft: J-Homomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ist der J-Homomorphismus ein spezieller Gruppenhomomorphismus von der Homotopiegruppe einer (speziellen) orthogonalen Gruppe oder einer (speziellen) unitären Gruppe in die Homotopiegruppe einer Sphäre. Die Definition benutzt die Hopf-Konstruktion und stammt von George W. Whitehead (nicht zu verwechseln mit John H. C. Whitehead) aus dem Jahr 1942 durch eine Erweiterung einer Definition von Heinz Hopf aus dem Jahr 1935.

Definition

Erste Definition

Eine orthogonale Matrix $O\in \operatorname {O} (k)$ definiert eine stetige Abbildung $O\colon \mathbb {R} ^{k}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$, die sich aufgrund der Orthogonalität der Matrix auf eine wohldefinierte stetige Abbildung $O\colon S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$ einschränkt. Eine Homotopieklasse in $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))$, also die einer stetigen Abbildung $S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$, repräsentiert daher die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}\times S^{k-1}\rightarrow S^{k-1}$. Ihre Hopf-Konstruktion ist die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung $S^{n}*S^{k-1}\rightarrow \Sigma S^{k-1}$, also $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ unter Verwendung der Lemmata, dass Verbund und Einhängung von Sphären jeweils wieder Sphären ergeben, und daher in $\pi _{n+k}(S^{k})$. Insgesamt ergibt das eine Abbildung:

$J_{n,k}\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k}),$

von der sich zeigen lässt, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zweite Definition

Die Einpunkt-Kompaktifizierung des euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{m}$ ist die Sphäre $S^{m}$ und es gibt eine injektive Einbettung $\mathbb {R} ^{m}\rightarrow S^{m}$. Für eine stetige Abbildung $f\colon S^{n}\rightarrow \operatorname {O} (k)$ gibt es dadurch eine Abbildung:

$\mathbb {R} ^{n+k}\rightarrow S^{n}\times \mathbb {R} ^{k}\xrightarrow {(x,y)\mapsto f(x)(y)} \mathbb {R} ^{k},$

deren Einpunkt-Kompaktifizierung eine Abbildung $S^{n+k}\rightarrow S^{k}$ ist. Die Einschränkung auf Homotopieklassen ist wohldefiniert.

Verallgemeinerungen

In den gerade beschreibenen Konstruktion kann der J-Homomorphismus ebenso für spezielle orthogonale Matrizen betrachtet werden, was einen Gruppenhomomorphismus $J_{n,k}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (k))\rightarrow \pi _{n+k}(S^{k})$ ergibt. Für (spezielle) unitäre Matrizen ist jedoch eine Änderung notwendig: Eine unitäre Matrix $U\in \operatorname {U} (k)$ (oder eine spezielle unitäre Matrix $U\in \operatorname {SU} (k)$) definiert eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {C} ^{k}\rightarrow \mathbb {C} ^{k}$, also eine stetige Abbildung $U\colon \mathbb {R} ^{2k}\rightarrow \mathbb {R} ^{2k}$über die Korrespondenz $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$, die sich aufgrund der Unitarität der Matrix auf eine wohldefinierte Abbildung $U\colon S^{2k-1}\rightarrow S^{2k-1}$ einschränkt. Die weitere Konstruktion völlig analog ergibt J-Homomorphismen:

$J_{n,k}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k})$

$J_{n,k}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (2k))\rightarrow \pi _{n+2k}(S^{2k}).$

Verwendung in stabiler Homotopietheorie

Von allen vier J-Homomorphismen lässt sich der Kolimes bilden, folgend nur für den der orthogonalen und unitären Gruppe beschrieben. Es gibt kanonische Inklusionen $\operatorname {O} (k)\hookrightarrow \operatorname {O} (k+1)$ und $\operatorname {U} (k)\hookrightarrow \operatorname {U} (k+1)$ durch Erweiterung der Matrix durch eine zusätzliche Zeile und Spalte mit nur Nulleinträgen bis auf einen Einseintrag auf dem zusätzlichen Diagonaleintrag, die durch Nachkomposition (welche Homotopien erhält) jeweils eine kanonische Inklusion $\pi _{n}(\operatorname {O} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {O} (k+1))$ und $\pi _{n}(\operatorname {U} (k))\hookrightarrow \pi _{n}(\operatorname {U} (k+1))$ induziert. Durch einfache (bei den beiden orthogonalen Gruppen) oder doppelte (bei den beiden unitären Gruppen) Anwendung der Einhängung (welche Homotopien sowie Sphären erhält), gibt es kanonische Abbildungen $\pi _{n+k}(S^{k})\rightarrow \pi _{n+k+1}(S^{k+1})$ und $\pi _{n+2(k+1)}(S^{2k})\rightarrow \pi _{n+2(k+1)}(S^{2(k+1)})$. In beiden Fällen wird $k$ in den Gruppen auf $k+1$ verschoben, wobei sich mit den J-Homomorphismen $J_{n,k}^{\operatorname {O} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {O} }$ oder $J_{n,k}^{\operatorname {U} }$ und $J_{n,k+1}^{\operatorname {U} }$ eine kommutative Relation ergibt. Diese gestattet die Bildung des Kolimes über $k$ und es ergeben sich die vier J-Homomorphismen:

$J_{n}^{\operatorname {O} }\colon \pi _{n}(\operatorname {O} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SO} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SO} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {U} }\colon \pi _{n}(\operatorname {U} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

$J_{n}^{\operatorname {SU} }\colon \pi _{n}(\operatorname {SU} (\infty ))\rightarrow \pi _{n}^{\mathrm {stab} }$

Verbindung zur Kobordismus- und Chirurgietheorie

Die stabilen Homotopiegruppen $\pi _{n}^{\mathrm {stab} }$ der Sphären sind durch die Pontrjagin-Thom-Konstruktion isomorph zum gerahmten Kobordismusring $\Omega _{n}^{\operatorname {SO} }$.

Draft: Lie-Gruppoide

Lie-Gruppoide sind Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ surjektiv ist, wird transitiv genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ eigentlich ist, wird eigentlich genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das $s,t\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightrightarrows {\mathcal {G}}_{0}$ lokale Diffeomorphismen sind, wird étale genannt.

• Paargruppoide sind étale.
• Einheitsgruppoide sind nie étale.

Weblinks

• Lie gruppoid auf nLab (englisch)

Draft: Lie-Algebroide

Lie-Algebroide sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Weblinks

• Lie algebroid auf nLab (englisch)

Draft: Unitäre Transformation

XXXX

Eigenschaften

• Unitäre Transformationen erhalten hermitische, antihermitesche und unitäre Operatoren
• Unitäre Transformationen erhalten Bose-Operatoren und