72er-Regel

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Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Zeit an, in der sich ein zu Zinseszinsen angelegtes Kapital verdoppelt (Verdopplungszeit). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß, zu dem das Kapitals angelegt wird, daher der Name der Regel.

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Für die Zeit (in Jahren), in der sich ein zum (jährlichen) Zinssatz (bzw. zum Zinsfuß ) angelegtes Kapital verdoppelt, gilt nach der 72er-Regel die Näherung

.

Man kann denselben Zusammenhang nutzen, um den Zinsfuß abzuschätzen, bei dem sich ein Kapital in vorgegebener Zeit verdoppelt:

.

Ein Kapital, das zu 8 % pro Jahr angelegt ist, verdoppelt sich gemäß der 72er-Regel etwa alle

.

Ein Kapital verdoppelt sich in einem Zeitraum von Jahren bei einem Zinsfuß von etwa

.

Nach der Zinseszinsformel gilt für das Endkapital einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital bei einem Zinssatz von nach einer Laufzeit von Jahren bei jährlicher Verzinsung

.

Setzt man nun , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

.

Für kleine gilt in guter Näherung (siehe Taylor-Reihe). Damit und mit erhält man die Näherungsformel

.

Nähert man schließlich noch durch , so erhält man die 72er-Regel.

Die Näherung durch hat sich in der Praxis bewährt, unter anderem weil die Zahl viele kleine Teiler aufweist .[1]

Nähert man hingegen durch oder , so erhält man die Näherungsformeln

,

die in der Literatur 69er-Regel[2] bzw. 70er-Regel[3] genannt werden. Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

,

die durch numerische Approximation gefunden wurde.[4][5] Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Für die Herleitung mittels Reihenentwicklung wird die Laurentreihe benötigt (a-1/x + a0 + a1 x + a2 x2 …), speziell die ersten beiden Terme dieser Reihe (n = 2).

Es ergibt sich somit:

mit Zahlenwerten
bzw. gerundet
.
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Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten.

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

Zinssatz Verdopplungs-
zeit
72er-Regel 70er-Regel 69er-Regel Näherung
69/p + 0,35
Näherung
69/p + 0,32
0,25 % 277,605 288,000 280,000 276,000 276,350 276,320
0,5 % 138,976 144,000 140,000 138,000 138,350 138,320
1 % 69,661 72,000 70,000 69,000 69,350 69,320
2 % 35,003 36,000 35,000 34,500 34,850 34,820
3 % 23,450 24,000 23,333 23,000 23,350 23,320
4 % 17,673 18,000 17,500 17,250 17,600 17,570
5 % 14,207 14,400 14,000 13,800 14,150 14,120
6 % 11,896 12,000 11,667 11,500 11,850 11,820
7 % 10,245 10,286 10,000 9,857 10,207 10,177
8 % 9,006 9,000 8,750 8,625 8,975 8,945
9 % 8,043 8,000 7,778 7,667 8,017 7,987
10 % 7,273 7,200 7,000 6,900 7,250 7,220
11 % 6,642 6,545 6,364 6,273 6,623 6,593
12 % 6,116 6,000 5,833 5,750 6,100 6,070
15 % 4,959 4,800 4,667 4,600 4,950 4,920
18 % 4,188 4,000 3,889 3,833 4,183 4,153
20 % 3,802 3,600 3,500 3,450 3,800 3,770
25 % 3,106 2,880 2,800 2,760 3,110 3,080
30 % 2,642 2,400 2,333 2,300 2,650 2,620
40 % 2,060 1,800 1,750 1,725 2,075 2,045
50 % 1,710 1,440 1,400 1,380 1,730 1,700

Eine frühe Erwähnung der 72er-Regel findet sich in Luca Paciolis Summa de arithmetica (Venedig 1494, S. 181). Darin stellt er die Regel im Rahmen einer Diskussion über die Schätzung der Verdopplungszeit einer Investition vor, leitet sie aber nicht her und erklärt sie auch nicht. Dies legt die Vermutung nahe, dass die Regel schon vor Pacioli bekannt war.

  • John J. Spitzer, Sandeep Singh: The rule of 72?. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

Einzelnachweise

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  1. R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360.
  2. Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89.
  3. M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361.
  4. J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. Band 39, 1974, S. 397–398.
  5. Richard P. Brief: A note on “rediscovery” and the rule of 69. In: The Accounting Review. Band 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.