Antiparallelogramm

Ein Antiparallelogramm

Als Antiparallelogramm wird ein sich selbstüberschneidendes Viereck bezeichnet, dessen jeweils gegenüberliegende, also nicht benachbarte Seiten die gleiche Länge besitzen und bei dem sich (im Gegensatz zu einem gewöhnlichen Parallelogramm) zwei Seiten schneiden und in der Regel nicht parallel liegen. Insbesondere ist es nicht konvex. Eine Spezialform des Antiparallelogramms ist das gekreuzte Rechteck, dessen zwei kürzere Seiten parallel zueinander liegen.

Stehen die Längen der benachbarten Seiten eines Antiparallelogramms im Verhältnis $1:{\sqrt {2}}$ und hält man eine der beiden längeren Seiten fest, dann beschreibt der Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite eine Bernoullische Lemniskate.

Antiparallelogramm als Gelenkviereck

Baut man ein Antiparallelogramm als Koppelgetriebe mit starren Seiten und Gelenken an den Eckpunkten auf, dann erhält man ein Gelenkviereck, das geradlinige Bewegungen in kreisförmige umwandeln kann, ähnlich einem Pleuel. (Siehe hierzu auch Inversor von Hart)

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  Die zwei anliegenden und der umschließender Kreis des Antiparallelogramms

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  Viergelenk mit Führungsstäben, die verhindern, dass das Antiparallelogramm zum Parallelogramm umschlägt. Hierfür werden drei Stäbe mittig angebunden. Blau gestrichelte Linien zeigen die mögliche Verbindung zum vierten Stab.
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  Bewegt sich ein Antiparallelogramm um eine seiner kurzen Seiten, rotiert der Kreuzungspunkt auf einer elliptischen Bahn. Die Ellipse ist die Gangpolbahn des Viergelenks.
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  Ein Viergelenk-Antiparallelogramm lässt sich durch zwei elliptische Zahnräder substituieren.

Literatur

• Harold Scott MacDonald Coxeter, Michael S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform polyhedra. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London (= A. Mathematical and Physical Sciences). Band 246, 1954, S. 401–450, doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
• Norbert Treitz: Das Antiparallelogramm (I). In: Spektrum der Wissenschaft. April 2006, S. 114–116 (spektrum.de [abgerufen am 4. Juni 2013]). 
• John Briant, Christopher J. Sangwin: How round is your circle? Where Engineering and Mathematics Meet. Princeton University Pres, 2008, ISBN 978-0-691-13118-4, S. 54–56 (online auf google-books [abgerufen am 4. Juni 2013]). 
• E. A. Dijksman: Motion Geometry of Mechanisms. Cambridge University Press, 1976, ISBN 978-0-521-20841-3, S. 203 f. (online auf google-books [abgerufen am 4. Juni 2013]). 

Weblinks

Commons: Antiparallelogramm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Das Online-Lexikon Academic dictionaries and encyclopedias zitiert Pierer's Universal-Lexikon, das ein Antiparallelogramm als „ein Viereck, in welchem das eine Paar der Gegenseiten parallel, aber ungleich, das andere gleich, aber nicht parallel ist“ definiert. Dem vorliegenden Artikel liegt die Definition zugrunde, die in der weiter oben genannten Literatur verwendet wird.
• Spektrum der Wissenschaft zeigt:

Rollende Ellipsen, Das Antiparallelogramm, Harts Inversor, Das Antiparallelogramm (II)