Dualer Kegel

Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel, der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der Lagrange-Dualität in der mathematischen Optimierung eine Rolle. Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt.

Definition

In Hilberträumen

Gegeben sei ein Hilbertraum $V$ (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle .;.\rangle$ ) und ein Kegel ${\mathcal {K}}$ in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

$\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \geq 0\}$

der duale Kegel von ${\mathcal {K}}$. Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit ${\mathcal {K}}^{*}$ oder ${\mathcal {K}}^{D}$ bezeichnet.

Allgemeiner Fall

Ist $V^{*}$ der Dualraum von $V$ und ist ${\mathcal {K}}$ ein Kegel in $V$, dann ist der duale Kegel definiert durch

$\operatorname {dual} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \geq 0\}$

Dabei bezeichnet $\langle .;.\rangle$ die duale Paarung, das heißt, es gilt $\langle y^{*};x\rangle :=y^{*}(x)$.

Bemerkung

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum $V$ auffassen zu können.

Verwandte Begriffsbildungen

Polarer Kegel

Analog lässt sich der Begriff des polaren Kegels formulieren:

$\operatorname {pol} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \leq 0\}$

In einem Hilbertraum gilt dann:

$\operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \leq 0\}$

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt ${\mathcal {K}}\cap \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{0_{V}\}$

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung $\operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=-\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})$ im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

Selbstdualer Kegel

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})={\mathcal {K}}$ gilt.

Bemerkung

Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.

Beispiele

Betrachtet man in $\mathbb {R} ^{2}$ versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel ${\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}=0\}=\lambda (1,0)^{T}$ mit $\lambda \geq 0$, so ist der duale Kegel die rechte Halbebene $\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R}$. Ist nämlich $x\in {\mathcal {K}}$, so ist $x^{T}y=\lambda y_{1}$ und dies soll $\geq 0$ sein für alle $\lambda \geq 0$, daher muss $y_{1}\geq 0$ sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den $\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Skalarprodukt $\langle x;y\rangle _{A}:=x^{T}Ay$, wobei $A$ die symmetrische positiv definite Matrix

$A={\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}}$

ist, so ist der duale Kegel

$\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,4y_{1}+y_{2}\geq 0\}$.

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden $y_{2}=-4y_{1}$ begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist ${\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}\geq 0\}$.

Eigenschaften

• Der duale und der polare Kegel sind konvex, unabhängig davon, ob diese Eigenschaft bereits dem ursprünglichen Kegel zukam oder nicht.
• Ist $V$ ein topologischer Vektorraum – mit dem topologischen Dualraum $V^{*}$ – so sind der polare und duale Kegel stets abgeschlossen.

Literatur

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)
• Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.
• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.