Darstellung des Betrags des Realanteils der ersten Kugelflächenfunktionen als Radius in kartesischen Koordinaten. Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflächenfunktion an (rot entspricht positiv, grün entspricht negativ).
Veranschaulichung des Realanteils einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend) auf der Einheitskugel. Dargestellt ist
Y
l
,
m
{\displaystyle Y_{l,m}}
, wobei
l
{\displaystyle l}
der Zeile und
m
{\displaystyle m}
der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert.
Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators . Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:
(
∂
2
∂
ϑ
2
+
cos
ϑ
sin
ϑ
∂
∂
ϑ
+
1
sin
2
ϑ
∂
2
∂
φ ふぁい
2
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
−
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
, dabei sind
N
l
m
{\displaystyle N_{lm}}
Normierungsfaktoren und
P
l
m
(
z
)
{\displaystyle P_{lm}(z)}
die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):
Y
l
m
:
[
0
,
π ぱい
]
×
[
0
,
2
π ぱい
]
→
C
,
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
↦
1
2
π ぱい
N
l
m
P
l
m
(
cos
ϑ
)
e
i
m
φ ふぁい
{\displaystyle Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }}
mit
N
l
m
:=
2
l
+
1
2
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
{\displaystyle \quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}
Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen . Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet.
Der Winkelanteil des Laplace-Operators zeigt sich, wenn dieser in Kugelkoordinaten geschrieben wird:
Δ でるた
=
∂
2
∂
r
2
+
2
r
∂
∂
r
+
1
r
2
(
∂
2
∂
ϑ
2
+
cos
ϑ
sin
ϑ
∂
∂
ϑ
+
1
sin
2
ϑ
∂
2
∂
φ ふぁい
2
)
=
Δ でるた
r
+
1
r
2
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=\Delta _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}
Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
{\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }}
bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators
L
^
2
=
−
ℏ
2
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}
.
Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten
Δ でるた
f
(
r
,
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
0
{\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\varphi )\ =0}
hat neben der trivialen Lösung,
f
=
0
{\displaystyle f=0}
, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.
Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei
R
l
(
r
)
{\displaystyle R_{l}(r)}
nur vom Radius und
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:
f
(
r
,
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
R
l
(
r
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )=R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Dies ergibt eingesetzt:
Δ でるた
R
l
(
r
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Δ でるた
r
R
l
(
r
)
+
R
l
(
r
)
r
2
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
0
{\displaystyle \Delta R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R_{l}(r)+{\frac {R_{l}(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=0}
Multiplikation von
r
2
{\displaystyle r^{2}}
und Division durch
R
l
(
r
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
liefert:
r
2
Δ でるた
r
R
l
(
r
)
R
l
(
r
)
+
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
0
{\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}=0}
Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu
l
(
l
+
1
)
{\displaystyle l(l+1)}
gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):
r
2
Δ でるた
r
R
l
(
r
)
R
l
(
r
)
=
l
(
l
+
1
)
=
−
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}=l(l+1)=-{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}}
Durch dieses Verfahren, welches Separationsansatz genannt wird, wurde also das ursprüngliche Problem, nämlich die Lösung der Laplace-Gleichung (partielle Differentialgleichung mit drei unabhängigen Variablen), auf das einfachere Problem der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung (Radialgleichung)
Δ でるた
r
R
l
(
r
)
=
l
(
l
+
1
)
r
2
R
l
(
r
)
{\displaystyle \Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)}
und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), die gerade von den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.
Δ でるた
ϑ
,
φ ふぁい
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
−
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:
f
(
r
,
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
∑
l
,
m
R
l
(
r
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )\ =\sum _{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung.
Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt.
Die Eigenwertgleichung
(
∂
2
∂
ϑ
2
+
cos
ϑ
sin
ϑ
∂
∂
ϑ
+
1
sin
2
ϑ
∂
2
∂
φ ふぁい
2
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
−
l
(
l
+
1
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
wird mit folgendem Produktansatz separiert:
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )}
Umsortieren liefert:
sin
2
ϑ
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
(
∂
2
∂
ϑ
2
+
cos
ϑ
sin
ϑ
∂
∂
ϑ
)
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
+
sin
2
(
ϑ
)
(
l
(
l
+
1
)
)
⏟
m
2
=
−
1
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
∂
2
∂
φ ふぁい
2
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
⏟
m
2
{\displaystyle \underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )(l(l+1))} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi _{m}(\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )} _{m^{2}}}
Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als
m
2
{\displaystyle m^{2}}
gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung
1
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
(
∂
2
∂
ϑ
2
+
cos
ϑ
sin
ϑ
∂
∂
ϑ
)
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
=
m
2
sin
2
ϑ
−
l
(
l
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )={\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}-l(l+1)}
und die Azimutalgleichung .
∂
2
∂
φ ふぁい
2
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
=
−
m
2
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )=-m^{2}\Phi _{m}(\varphi )}
Die Azimutalgleichung wird durch
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
=
A
exp
(
i
m
φ ふぁい
)
{\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )=A\exp(\mathrm {i} m\varphi )}
gelöst, wobei die
m
{\displaystyle m}
wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
+
2
π ぱい
)
=
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
{\displaystyle \Phi _{m}(\varphi +2\pi )=\Phi _{m}(\varphi )}
eingeschränkt sind auf ganze Zahlen
exp
(
i
m
2
π ぱい
)
=
1
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} m2\pi )=1}
. Mit
∫
0
2
π ぱい
|
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
|
2
d
φ ふぁい
=
!
1
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi {\overset {!}{=}}1}
erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
=
1
2
π ぱい
exp
(
i
m
φ ふぁい
)
,
m
∈
Z
{\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(\mathrm {i} m\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} }
Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen sind nur dann endlich, eindeutig und stetig, wenn
l
∈
N
0
,
|
m
|
≤
l
{\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0},\quad |m|\leq l}
.
Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome
P
l
m
(
cos
ϑ
)
{\displaystyle P_{lm}(\cos \vartheta )}
und mit
∫
0
π ぱい
|
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
|
2
sin
(
ϑ
)
d
ϑ
=
!
1
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }|\Theta _{lm}(\vartheta )|^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta {\overset {!}{=}}1}
erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
=
2
l
+
1
2
⋅
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
ϑ
)
{\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )}
Die Gesamtlösung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich die Kugelflächenfunktionen.
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
Θ しーた
l
m
(
ϑ
)
Φ ふぁい
m
(
φ ふぁい
)
=
1
2
π ぱい
2
l
+
1
2
⋅
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
ϑ
)
exp
(
i
m
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )\exp(\mathrm {i} m\varphi )}
3D Plot der Kugelflächenfunktionen (hier
n
{\displaystyle n}
statt
l
{\displaystyle l}
und
θ しーた
{\displaystyle \theta }
statt
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
)
Y
n
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
∝
P
n
m
(
cos
θ しーた
)
exp
(
i
m
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{nm}(\theta ,\varphi )\propto P_{nm}(\cos \theta )\exp(im\varphi )}
für Grad
n
=
5
{\displaystyle n=5}
Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen
Y
l
m
:
S
2
→
C
{\displaystyle Y_{lm}:S^{2}\rightarrow \mathbb {C} }
ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
:=
1
2
π ぱい
N
l
m
P
l
m
(
cos
ϑ
)
e
i
m
φ ふぁい
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}N_{lm}P_{lm}(\cos \vartheta )e^{\mathrm {i} m\varphi }}
Dabei sind
P
l
m
(
x
)
:=
(
−
1
)
m
2
l
l
!
(
1
−
x
2
)
m
2
d
l
+
m
d
x
l
+
m
(
x
2
−
1
)
l
{\displaystyle P_{lm}(x):={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}l!}}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{l+m}}{\mathrm {d} x^{l+m}}}(x^{2}-1)^{l}}
die zugeordneten Legendrepolynome und
N
l
m
:=
2
l
+
1
2
⋅
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
{\displaystyle N_{lm}:={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}
sind Normierungsfaktoren. Mitunter ist die Berechnung über:
P
l
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
1
−
x
2
)
m
2
(
∂
∂
x
)
m
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{lm}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{m}P_{l}(x)}
mit
P
l
(
x
)
=
1
2
l
∑
k
=
0
⌊
l
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
2
l
−
2
k
)
!
k
!
(
l
−
k
)
!
(
l
−
2
k
)
!
x
l
−
2
k
{\displaystyle P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}}}\sum _{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!}}x^{l-2k}}
vorteilhafter (
⌊
l
/
2
⌋
:=
a
b
r
u
n
d
e
n
(
l
/
2
)
{\displaystyle \lfloor l/2\rfloor :={\mathrm {abrunden} }(l/2)}
), da
l
{\displaystyle l}
-faches Ableiten entfällt.
Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome . Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit
r
n
{\displaystyle r^{n}}
schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von
r
n
{\displaystyle r^{n}}
die Funktionen
1
{\displaystyle 1{\frac {}{}}}
cos
φ ふぁい
sin
ϑ
=
ℜ
(
e
i
φ ふぁい
)
sin
ϑ
{\displaystyle \cos {\varphi }\sin \vartheta =\Re {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }
,
sin
φ ふぁい
sin
ϑ
=
ℑ
(
e
i
φ ふぁい
)
sin
ϑ
{\displaystyle \sin \varphi \sin \vartheta =\Im {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }
,
cos
ϑ
{\displaystyle \cos \vartheta {\frac {}{}}}
.
Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme
x
2
−
y
2
,
x
y
,
x
2
+
y
2
−
2
z
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2},xy,x^{2}+y^{2}-2z^{2}{\frac {}{}}}
wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.
Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:
Orthonormalitätsrelation : (
δ でるた
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
ist das Kronecker-Delta )
∫
Y
l
m
∗
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Y
l
′
m
′
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
d
Ω おめが
=
∫
0
2
π ぱい
∫
0
π ぱい
Y
l
m
∗
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Y
l
′
m
′
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ ふぁい
=
δ でるた
l
l
′
δ でるた
m
m
′
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\mathrm {d} \Omega \\&\quad =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\,\sin {\vartheta }\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad =\delta _{l\,l'}\,\delta _{mm'}\\\end{aligned}}}
∑
l
=
0
∞
∑
m
=
−
l
l
Y
l
m
∗
(
ϑ
′
,
φ ふぁい
′
)
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
δ でるた
(
φ ふぁい
−
φ ふぁい
′
)
δ でるた
(
cos
ϑ
−
cos
ϑ
′
)
{\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})}
Parität : Der Übergang
r
→
→
−
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}}
sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus:
(
r
,
ϑ
,
φ ふぁい
)
→
(
r
,
π ぱい
−
ϑ
,
π ぱい
+
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\vartheta ,\varphi )\rightarrow (r,\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )}
. Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:
Y
l
m
(
π ぱい
−
ϑ
,
π ぱい
+
φ ふぁい
)
=
(
−
1
)
l
⋅
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Komplexe Konjugation : Die jeweiligen
Y
l
,
−
m
{\displaystyle Y_{l,-m}}
erhält man aus den
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
durch:
Y
l
,
−
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
(
−
1
)
m
⋅
Y
l
m
∗
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}
Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen
f
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}
(mit
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
und
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:
f
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
=
∑
l
=
0
∞
∑
m
=
−
l
+
l
c
l
m
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{+l}c_{lm}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
Die Entwicklungskoeffizienten
c
l
m
{\displaystyle c_{lm}}
berechnen sich zu:
c
l
m
=
∫
φ ふぁい
=
0
2
π ぱい
∫
ϑ
=
0
π ぱい
Y
l
m
∗
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
⋅
f
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
⋅
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ ふぁい
{\displaystyle c_{lm}=\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{\vartheta =0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\cdot f(\vartheta ,\varphi )\cdot \sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi }
Dabei ist
Y
l
m
∗
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}
das komplex-konjugierte zu
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
. Die Darstellung einer Funktion
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
mit
sin
{\displaystyle \sin }
- und
cos
{\displaystyle \cos }
-Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion
f
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}
mit
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}
auf einer Kugeloberfläche.
Ein Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
und
x
→
′
{\displaystyle {\vec {x}}'}
durch Kugelkoordinaten
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )}
bzw.
(
ϑ
′
,
φ ふぁい
′
)
{\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')}
dargestellt. Für den Winkel
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann
cos
γ がんま
=
cos
ϑ
cos
ϑ
′
+
sin
ϑ
sin
ϑ
′
cos
(
φ ふぁい
−
φ ふぁい
′
)
.
{\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.}
Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun
P
l
(
cos
γ がんま
)
=
4
π ぱい
2
l
+
1
∑
m
=
−
l
l
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
Y
l
m
∗
(
ϑ
′
,
φ ふぁい
′
)
.
{\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').}
Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflächenfunktionen
Y
l
m
{\displaystyle Y_{lm}}
mit den zugeordneten Legendrefunktionen
P
l
m
{\displaystyle P_{lm}}
geschrieben werden
P
l
(
cos
γ がんま
)
=
P
l
(
cos
ϑ
)
P
l
(
cos
ϑ
′
)
+
2
∑
m
=
1
l
(
l
−
m
)
!
(
l
+
m
)
!
P
l
m
(
cos
ϑ
)
P
l
m
(
cos
ϑ
′
)
cos
(
m
(
φ ふぁい
−
φ ふぁい
′
)
)
.
{\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )=P_{l}(\cos \vartheta )P_{l}(\cos \vartheta ')+2\sum _{m=1}^{l}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{lm}(\cos \vartheta )P_{lm}(\cos \vartheta ')\cos(m(\varphi -\varphi ')).}
Für
γ がんま
=
0
{\displaystyle \gamma =0}
erhält man aus dem Additionstheorem
∑
m
=
−
l
l
|
Y
l
m
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
|
2
=
2
l
+
1
4
π ぱい
.
{\displaystyle \sum _{m=-l}^{l}|Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )|^{2}={\frac {2l+1}{4\pi }}.}
Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität
cos
2
ϑ
+
sin
2
ϑ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\vartheta +\sin ^{2}\vartheta =1}
auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsöld-Theorem (nach Albrecht Unsöld ) bekannt.[1]
Die ersten Kugelflächenfunktionen
Ylm
l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
m = −3
35
64
π ぱい
sin
3
ϑ
e
−
3
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{-3\mathrm {i} \varphi }}
m = −2
15
32
π ぱい
sin
2
ϑ
e
−
2
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{-2\mathrm {i} \varphi }}
105
32
π ぱい
sin
2
ϑ
cos
ϑ
e
−
2
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{-2\mathrm {i} \varphi }}
m = −1
3
8
π ぱい
sin
ϑ
e
−
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}
15
8
π ぱい
sin
ϑ
cos
ϑ
e
−
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}
21
64
π ぱい
sin
ϑ
(
5
cos
2
ϑ
−
1
)
e
−
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}
m = 0
1
4
π ぱい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}
3
4
π ぱい
cos
ϑ
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\vartheta }}
5
16
π ぱい
(
3
cos
2
ϑ
−
1
)
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)}
7
16
π ぱい
(
5
cos
3
ϑ
−
3
cos
ϑ
)
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\vartheta }-3\cos {\vartheta }\right)}
m = 1
−
3
8
π ぱい
sin
ϑ
e
i
φ ふぁい
{\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{\mathrm {i} \varphi }}
−
15
8
π ぱい
sin
ϑ
cos
ϑ
e
i
φ ふぁい
{\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{\mathrm {i} \varphi }}
−
21
64
π ぱい
sin
ϑ
(
5
cos
2
ϑ
−
1
)
e
i
φ ふぁい
{\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{\mathrm {i} \varphi }}
m = 2
15
32
π ぱい
sin
2
ϑ
e
2
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{2\mathrm {i} \varphi }}
105
32
π ぱい
sin
2
ϑ
cos
ϑ
e
2
i
φ ふぁい
{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{2\mathrm {i} \varphi }}
m = 3
−
35
64
π ぱい
sin
3
ϑ
e
3
i
φ ふぁい
{\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{3\mathrm {i} \varphi }}
Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl
l
{\displaystyle l}
als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist
L
^
2
Y
l
,
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
=
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
Y
l
,
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}
L
^
z
Y
l
,
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
=
ℏ
m
Y
l
,
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar mY_{l,m}(\theta ,\varphi )}
Für jedes
l
{\displaystyle l}
ist die Funktion
r
l
Y
l
m
(
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle r^{l}Y_{lm}(\theta ,\varphi )}
Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, denn die Funktion
R
l
(
r
)
=
r
l
{\displaystyle R_{l}(r)=r^{l}}
erfüllt gerade obige Gleichung
Δ でるた
r
R
l
(
r
)
=
l
(
l
+
1
)
r
2
R
l
(
r
)
{\displaystyle \Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)}
.
Jede Lösung der Laplace-Gleichung lässt sich nun eindeutig als
∑
l
,
m
c
l
m
r
l
Y
l
m
{\displaystyle \sum _{l,m}c_{lm}r^{l}Y_{lm}}
darstellen. Somit lässt sich mit den Kugelflächenfunktionen die Laplace-Gleichung mit sphärischen Dirichlet-Randbedingungen lösen: Legen die Randbedingungen den Wert der Lösung
f
{\displaystyle f}
, die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll, auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion
f
|
S
2
{\displaystyle f|_{S_{2}}}
auf der Einheitssphäre fest, so lässt sich
f
|
S
2
{\displaystyle f|_{S_{2}}}
nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, wodurch sich die Koeffizienten
c
l
m
{\displaystyle c_{lm}}
und damit auf eindeutige Weise ganz
f
{\displaystyle f}
ergeben. Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Lösbarkeit mit sphärischen Randbedingungen lässt sich die allgemeine Lösbarkeit des Dirichlet-Problems der Laplace-Gleichung für hinreichend glatte Randbedingungen zeigen, dieser Beweis geht auf Oskar Perron zurück.[2] Das Dirichlet-Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik . Zum Lösen der Laplace-Gleichung, bei der eine Funktion gesucht ist, die außerhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet , zu gegebenen Randbedingungen, ist der Ansatz einer Zerlegung
∑
l
,
m
c
l
m
r
−
l
−
1
Y
l
m
{\displaystyle \sum _{l,m}c_{lm}r^{-l-1}Y_{lm}}
möglich, der ebenfalls stets eine Lösung der Laplace-Gleichung zu den gegebenen Randbedingungen liefert.
Wenn m gleich Null ist (oben links), sind die Schwingungsfunktionen nicht von der geographischen Länge abhängig und werden als zonal bezeichnet. Wenn ℓ = |m| (unten rechts), gibt es keine Nulldurchgänge in der geografischen Breite, und die Funktionen werden als sektoriell bezeichnet. In den anderen Fällen decken die Funktionen die Kugel ab und werden als tesseral bezeichnet. In der Geophysik wird unterschieden zwischen:
zonal (
m
=
0
{\displaystyle m=0}
): unabhängig von Längengrad
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
sektoriell (
m
=
l
{\displaystyle m=l}
): schwingen nur entlang des Längengrades
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
Y
l
l
(
ϑ
,
φ ふぁい
)
:=
(
−
1
)
l
!
l
(
2
l
+
1
)
!
4
l
+
1
π ぱい
sin
l
ϑ
e
i
l
φ ふぁい
{\displaystyle Y_{ll}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {(-1)}{l!}}^{l}{\sqrt {\frac {(2l+1)!}{4^{l+1}\pi }}}\sin ^{l}\vartheta e^{\mathrm {i} l\varphi }}
tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig
Kugelflächenfunktionen werden auch in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt, z. B.:
Arnold Sommerfeld : Vorlesungen über Theoretische Physik , Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik . Harri Deutsch, 1992
Claude Cohen-Tannoudji , Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1 . 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999, S. 649 ff.
Torsten Fließbach : Elektrodynamik . 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.
↑ Albrecht Unsöld: Beiträge zur Quantenmechanik der Atome . In: Annalen der Physik . Band 387 , Nr. 3 , 1927, S. 376–377 , doi :10.1002/andp.19273870304 .
↑ Oskar Perron: Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δ でるた u=0 . In: Mathematische Zeitschrift . Band 18 , Nr. 1 . Springer , 1923, ISSN 0025-5874 , S. 42–54 , doi :10.1007/BF01192395 .