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Das klassische Modell des Lorentz-Oszillators (nach Hendrik Antoon Lorentz ) beschreibt ein an den Atomrumpf gebundenes Elektron , das durch ein elektrisches Feld zu harmonischen Oszillationen angeregt wird. Es ist eine Erweiterung des Drude-Modells .
Das Modell beschreibt die frequenzabhängige elektrische Polarisation eines Festkörpers und damit seine dielektrische Funktion . Letztere beschreibt die Frequenzabhängigkeit (Dispersion )
ε いぷしろん
=
f
(
ω おめが
)
{\displaystyle \varepsilon =f(\omega )}
der Permittivität
ε いぷしろん
{\displaystyle \textstyle \varepsilon }
und die damit zusammenhängenden Resonanzen . Sie ist von großer Bedeutung für die optischen Eigenschaften eines Stoffes.
Elektronen sind analog zu verschieden starken Federn (Anisotropie ) an den Atomkern gebunden
Die Dynamik von Elektronen, Ionen oder permanenten Dipolen in einem Festkörper kann vereinfacht durch einen gedämpften harmonischen Oszillator beschrieben werden. Die folgende Bewegungsgleichung sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit für Elektronen aufgestellt. Für Ionen und permanente Dipole lassen sich analoge Gleichungen aufstellen. Modellhaft kann man sich vorstellen, die Elektronen in der Atomhülle seien im Lorentzmodell mit Federn am Atomkern befestigt. Haben die Federn aller Elektronen die gleiche Federkonstante entspricht dies einem isotropen Medium. Als periodische Antriebskraft geht die Wechselwirkung mit einem monochromatischen elektromagnetischen Wechselfeld , z. B. Licht, Radio- oder Mikrowellen , ein:
m
d
2
x
d
t
2
+
m
β べーた
d
x
d
t
+
m
ω おめが
0
2
x
=
−
e
E
0
exp
(
−
i
ω おめが
t
)
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+m\beta {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+m\omega _{0}^{2}x\;=\;-eE_{0}\exp(-\mathrm {i} \omega t)}
wobei
m
{\displaystyle m}
: Masse des Elektrons
x
{\displaystyle x}
: Auslenkung des Elektrons aus der Ruhelage
t
{\displaystyle t}
: Zeit
β べーた
{\displaystyle \beta }
: Dämpfung
ω おめが
{\displaystyle \omega }
: Kreisfrequenz des treibenden Feldes
ω おめが
0
{\displaystyle \omega _{0}}
: Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischen Oszillators
e
{\displaystyle e}
: Elementarladung
E
0
{\displaystyle E_{0}}
: lokale Amplitude des treibenden elektromagnetischen Wechselfeldes
Die stationäre Lösung dieser Bewegungsgleichung lautet:
x
(
t
)
=
−
e
m
1
ω おめが
0
2
−
ω おめが
2
−
i
β べーた
ω おめが
E
0
exp
(
−
i
ω おめが
t
)
.
{\displaystyle x(t)=-{\frac {e}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}E_{0}\exp(-\mathrm {i} \omega t).}
Das atomare Dipolmoment ist definiert als
p
→
=
−
e
x
→
{\displaystyle {\vec {p}}=-e{\vec {x}}}
, wobei
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
vom Elektron zum Kern zeigt, sodass sich dieses zu
p
→
=
e
2
m
1
ω おめが
0
2
−
ω おめが
2
−
i
β べーた
ω おめが
E
→
0
exp
(
−
i
ω おめが
t
)
.
{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}{\vec {E}}_{0}\exp(-\mathrm {i} \omega t).}
ergibt.
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz des treibenden Feldes
Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion im visuellen Bereich für einen Halbleiter (Silicium ) mit Bandübergängen in diesem Bereich; im Gegensatz zum oberen Bild ist hier als horiz. Achse die Wellenlänge
λ らむだ
=
2
π ぱい
c
ω おめが
{\displaystyle \lambda =2\pi {\frac {c}{\omega }}}
aufgetragen
Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion
ε いぷしろん
(
ω おめが
)
{\displaystyle \varepsilon (\omega )}
und der Polarisierbarkeit
α あるふぁ
(
ω おめが
)
{\displaystyle \alpha (\omega )}
:
ε いぷしろん
=
1
+
N
v
ε いぷしろん
0
/
α あるふぁ
(
ω おめが
)
−
N
v
/
3
=
1
+
N
v
ε いぷしろん
0
E
0
e
exp
(
−
i
ω おめが
t
)
x
(
t
)
−
N
v
/
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=1+{\frac {N_{v}}{\varepsilon _{0}/\alpha (\omega )-N_{v}/3}}\\&=1+{\frac {N_{v}}{{\frac {\varepsilon _{0}E_{0}}{e}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} \omega t)}{x(t)}}-N_{v}/3}}\end{aligned}}}
erhält man:
ε いぷしろん
(
ω おめが
)
=
1
+
N
v
e
2
ε いぷしろん
0
m
⋅
1
ω おめが
1
2
−
ω おめが
2
−
i
β べーた
ω おめが
{\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}}
mit
N
v
{\displaystyle N_{v}}
: Gitteratome pro Volumen (Teilchenzahldichte )
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
: imaginäre Einheit
ω おめが
1
2
=
ω おめが
0
2
−
1
3
N
v
e
2
ε いぷしろん
0
m
{\displaystyle \omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {1}{3}}N_{v}{\frac {e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}
: verschobene Resonanzfrequenz.
Die dielektrische Funktion lässt sich wie folgt in Realteil
ε いぷしろん
′
{\displaystyle \varepsilon '}
und Imaginärteil
ε いぷしろん
″
{\displaystyle \varepsilon ''}
trennen:
ε いぷしろん
(
ω おめが
)
≡
ε いぷしろん
′
(
ω おめが
)
+
i
ε いぷしろん
″
(
ω おめが
)
{\displaystyle \varepsilon (\omega )\equiv \varepsilon '(\omega )+\mathrm {i} \varepsilon ''(\omega )}
mit
ε いぷしろん
′
(
ω おめが
)
=
1
+
N
v
e
2
ε いぷしろん
0
m
ω おめが
1
2
−
ω おめが
2
(
ω おめが
1
2
−
ω おめが
2
)
2
+
β べーた
2
ω おめが
2
{\displaystyle \varepsilon '(\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}
und
ε いぷしろん
″
(
ω おめが
)
=
N
v
e
2
ε いぷしろん
0
m
β べーた
ω おめが
(
ω おめが
1
2
−
ω おめが
2
)
2
+
β べーた
2
ω おめが
2
{\displaystyle \varepsilon ''(\omega )={\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\beta \omega }{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}
.
Der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt aus der Larmor-Formel zu
d
σ しぐま
d
Ω おめが
=
1
16
π ぱい
2
ε いぷしろん
0
2
1
c
4
|
p
→
¨
|
2
E
0
2
sin
2
θ しーた
=
(
e
2
4
π ぱい
ε いぷしろん
0
1
m
e
c
2
)
2
⋅
ω おめが
4
(
ω おめが
0
2
−
ω おめが
2
)
2
+
β べーた
2
ω おめが
2
sin
2
θ しーた
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {1}{c^{4}}}{\frac {|{\ddot {\vec {p}}}|^{2}}{E_{0}^{2}}}\sin ^{2}\theta =\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}\sin ^{2}\theta }
mit dem Winkel zwischen Beobachter und Dipol
θ しーた
{\displaystyle \theta }
und dem Raumwinkel
Ω おめが
{\displaystyle \Omega }
. Durch Integration über den Raumwinkel ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt:
σ しぐま
=
1
6
π ぱい
ε いぷしろん
0
2
(
e
2
m
e
c
2
)
2
⋅
ω おめが
4
(
ω おめが
0
2
−
ω おめが
2
)
2
+
β べーた
2
ω おめが
2
{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{6\pi \varepsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{m_{e}\,c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}
Aus dieser Formel ergibt sich mit den Grenzfällen
ω おめが
≪
ω おめが
0
{\displaystyle \omega \ll \omega _{0}}
die Rayleigh-Streuung , für
ω おめが
≈
ω おめが
0
{\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}
die Resonanzfluoreszenz und für
ω おめが
≫
ω おめが
0
{\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}
die Thomson-Streuung .
Die Frequenzabhängigkeit der dielektrischen Funktion, des Brechungsindex sowie des Absorptionskoeffizienten werden im Wesentlichen korrekt wiedergegeben.
Reale Materialien weisen stets mehr als nur eine Resonanzfrequenz auf, da mehrere elektronische Übergänge existieren. Jeder Übergang liefert gemäß seiner Oszillatorstärke einen Beitrag zur elektronischen Polarisierbarkeit
Bei Festkörpern spielt die Aufspaltung in Energiebänder (Bandstruktur ) eine wichtige Rolle bezüglich der möglichen Übergänge.
K. Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik , Teubner Studienbücher 1993, ISBN 3-519-23083-6