Originalpublikation aus dem Jahr 1808
Die mollweideschen Formeln , benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen Carl Brandan Mollweide , sind trigonometrische Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten.
Bezeichnungen der Seiten und Winkel
(
b
+
c
)
sin
(
α あるふぁ
2
)
=
a
cos
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
{\displaystyle (b+c)\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\cos \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}\right)}
(
b
−
c
)
cos
(
α あるふぁ
2
)
=
a
sin
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
{\displaystyle (b-c)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\sin \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}\right)}
(
c
+
a
)
sin
(
β べーた
2
)
=
b
cos
(
γ がんま
−
α あるふぁ
2
)
{\displaystyle (c+a)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)=b\cos \left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}\right)}
(
c
−
a
)
cos
(
β べーた
2
)
=
b
sin
(
γ がんま
−
α あるふぁ
2
)
{\displaystyle (c-a)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)=b\sin \left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}\right)}
(
a
+
b
)
sin
(
γ がんま
2
)
=
c
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle (a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
(
a
−
b
)
cos
(
γ がんま
2
)
=
c
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle (a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
Sinussatz :
b
a
=
sin
(
β べーた
)
sin
(
α あるふぁ
)
;
{\displaystyle {b \over a}={\sin(\beta ) \over \sin(\alpha )};\quad }
(1)
c
a
=
sin
(
γ がんま
)
sin
(
α あるふぁ
)
;
{\displaystyle {c \over a}={\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )};\quad }
(2)
Sinusidentitäten :
sin
(
β べーた
)
+
sin
(
γ がんま
)
=
2
⋅
sin
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
⋅
cos
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
;
{\displaystyle \sin(\beta )+\sin(\gamma )=2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad }
(3)
sin
(
β べーた
)
−
sin
(
γ がんま
)
=
2
⋅
cos
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
⋅
sin
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
;
{\displaystyle \sin(\beta )-\sin(\gamma )=2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad }
(4)
Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel :
sin
(
α あるふぁ
)
=
sin
(
2
⋅
α あるふぁ
2
)
=
2
⋅
sin
(
α あるふぁ
2
)
⋅
cos
(
α あるふぁ
2
)
;
{\displaystyle \sin(\alpha )=\sin \left(2\cdot {\alpha \over 2}\right)=2\cdot \sin \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(5)
Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel :
sin
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
=
sin
(
180
∘
−
α あるふぁ
2
)
=
sin
(
90
∘
−
α あるふぁ
2
)
=
cos
(
α あるふぁ
2
)
;
{\displaystyle \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\sin \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\sin \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(6)
cos
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
=
cos
(
180
∘
−
α あるふぁ
2
)
=
cos
(
90
∘
−
α あるふぁ
2
)
=
sin
(
α あるふぁ
2
)
;
{\displaystyle \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\cos \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\cos \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\sin \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(7)
Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):
b
+
c
a
=
sin
(
β べーた
)
+
sin
(
γ がんま
)
sin
(
α あるふぁ
)
=
{\displaystyle {b+c \over a}={\sin(\beta )+\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}=}
2
⋅
sin
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
⋅
cos
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
2
⋅
sin
(
α あるふぁ
2
)
⋅
cos
(
α あるふぁ
2
)
=
{\displaystyle {\frac {2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}=}
cos
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
sin
(
α あるふぁ
2
)
;
{\displaystyle {\frac {\cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\sin({\alpha \over 2})}};}
Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):
b
−
c
a
=
sin
(
β べーた
)
−
sin
(
γ がんま
)
sin
(
α あるふぁ
)
=
2
⋅
cos
(
β べーた
+
γ がんま
2
)
⋅
sin
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
2
⋅
sin
(
α あるふぁ
2
)
⋅
cos
(
α あるふぁ
2
)
=
sin
(
β べーた
−
γ がんま
2
)
cos
(
α あるふぁ
2
)
;
{\displaystyle {b-c \over a}={\sin(\beta )-\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}={\frac {2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}={\frac {\sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\cos({\alpha \over 2})}};}
Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch zyklische Substitution der Seiten- und Winkelbezeichnungen.
Bezeichnungen der Seiten und Winkel
Im rechtwinkligen Dreieck
△
A
F
B
{\displaystyle \triangle AFB}
gilt
|
F
B
|
=
c
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle |FB|=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
und im rechtwinkligen Dreieck
△
E
F
B
{\displaystyle \triangle EFB}
zudem
|
F
B
|
=
(
a
−
b
)
cos
(
γ がんま
2
)
{\displaystyle |FB|=(a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}
. Damit ergibt sich:
(
a
−
b
)
cos
(
γ がんま
2
)
=
c
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle (a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
Betracht man die Strecke
A
F
{\displaystyle AF}
, so gilt für deren Länge:
|
A
F
|
=
|
A
D
|
+
|
D
E
|
+
|
E
F
|
=
b
sin
(
γ がんま
2
)
+
b
sin
(
γ がんま
2
)
+
(
a
−
b
)
sin
(
γ がんま
2
)
=
(
a
+
b
)
sin
(
γ がんま
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|AF|&=|AD|+|DE|+|EF|\\&=b\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+b\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+(a-b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}
Im rechtwinkligen Dreieck
△
A
F
B
{\displaystyle \triangle AFB}
gilt aber auch
|
A
F
|
=
c
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle |AF|=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
, damit ergibt sich insgesamt:
(
a
+
b
)
sin
(
γ がんま
2
)
=
c
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
2
)
{\displaystyle (a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
[ 1]
Die Formeln wurden in der heutigen Darstellung 1808 von Mollweide veröffentlicht und verbreiteten sich anschließend unter seinen Namen. Allerdings waren sie schon vorher anderen Mathematikern bekannt. Die Kosinusgleichungen finden sich bereits in Isaac Newtons Arithmetica Universalis (1707). Sowohl die Sinus- als auch die Kosinusvariante finden sich als geometrische Lehrsätze in Analysis triangulorum (1746) von F. W. de Oppel . Ebenfalls noch vor Mollweide finden sich die Formeln auch in Werken von Thomas Simpson (1748), Antoine-René Mauduit (1765) und Antonio Cagnoli (1786).[ 2]
C. B. Mollweide: Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400.
Heinz Klaus Strick: Karl B. Mollweide (1774–1825): Auf der Jagd nach der besten Karte . Spektrum, März 2021
Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry . In: Teaching Mathematics and Its Applications , 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008
Rex H. Wu: Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines . In: Mathematics Magazine , 93 (5), S. 386
↑ Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry . In: Teaching Mathematics and Its Applications , 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008
↑ Johannes Tropfke : Geschichte der Elementarmathematik. Band 5 . de Gruyter,2-te erweiterte Auflage, 1923, S. 85