Sinus versus (auch Sinusversus , Quersinus , Versinus oder Versus , in Formeln abgekürzt
vers
{\displaystyle \operatorname {vers} }
) und der Kosinus versus (auch Koversinus oder Querkosinus , in Formeln abgekürzt
covers
{\displaystyle \operatorname {covers} }
) sind in der Trigonometrie heute selten verwendete trigonometrische Funktionen . Semiversus (englisch haversine , in Formeln abgekürzt
sem
{\displaystyle \operatorname {sem} }
) ist der halbe Sinus versus.
Veranschaulichung am Einheitskreis: Der Sinus versus
C
D
{\displaystyle CD}
bildet zusammen mit dem Kosinus einen Radius 1 (
O
D
{\displaystyle OD}
), der Kosinus versus
G
F
{\displaystyle GF}
zusammen mit dem Sinus einen Radius 1 (
O
F
{\displaystyle OF}
).
Der Sinus versus wird mit Hilfe der Kosinus- oder Sinusfunktion definiert als[ 1]
vers
θ しーた
=
1
−
cos
θ しーた
=
2
sin
2
θ しーた
2
.
{\displaystyle \operatorname {vers} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}
Er ist die Differenz des Kosinus zu +1 (in nebenstehender Abbildung in der Farbe Grün eingezeichnet).
Der Sinus versus kann auf die ganze komplexe Zahlenebene ausgeweitet werden.
Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:[ 2]
sem
θ しーた
=
vers
θ しーた
2
=
sin
2
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {sem} \theta ={\frac {\operatorname {vers} \theta }{2}}=\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
Der Kosinus versus ist in nebenstehender Abbildung in der Farbe Cyan und als cvs eingezeichnet.
covers
θ しーた
=
1
−
sin
θ しーた
=
vers
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
.
{\displaystyle \operatorname {covers} \theta =1-\sin \theta =\operatorname {vers} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).}
Er ist die Differenz des Sinus zu +1 und auch der Sinus versus des Gegenarguments (π ぱい /2 − θ しーた ).[ 3]
Manchmal wird analog zu
versin
θ しーた
=
2
sin
2
(
θ しーた
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =2\sin ^{2}(\theta /2)}
und
coversin
θ しーた
=
versin
(
π ぱい
/
2
−
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta =\operatorname {versin} (\pi /2-\theta )}
unter vercos etwas anderes verstanden als unter coversin und unter covercos etwas anderes als unter versin. In folgender Tabelle sind die Funktionen zusammen mit einigen verwandten trigonometrischen Funktionen und dem grafischen Funktionsverlauf zusammengefasst:
versin
θ しーた
=
1
−
cos
θ しーた
=
2
sin
2
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
haversin
θ しーた
=
versin
θ しーた
2
=
1
−
cos
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {haversin} \theta ={\frac {\operatorname {versin} \theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
vercos
θ しーた
=
1
+
cos
θ しーた
=
2
cos
2
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {vercos} \theta =1+\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
havercos
θ しーた
=
vercos
θ しーた
2
=
1
+
cos
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {havercos} \theta ={\frac {\operatorname {vercos} \theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
coversin
θ しーた
=
1
−
sin
θ しーた
=
versin
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} \theta =1-\sin \theta =\operatorname {versin} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
hacoversin
θ しーた
=
coversin
θ しーた
2
=
1
−
sin
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {hacoversin} \theta ={\frac {\operatorname {coversin} \theta }{2}}={\frac {1-\sin \theta }{2}}}
covercos
θ しーた
=
1
+
sin
θ しーた
=
vercos
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {covercos} \theta =1+\sin \theta =\operatorname {vercos} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}
hacovercos
θ しーた
=
covercos
θ しーた
2
=
1
+
sin
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {hacovercos} \theta ={\frac {\operatorname {covercos} \theta }{2}}={\frac {1+\sin \theta }{2}}}
Die Ableitungen und die Stammfunktionen sind:
d
d
x
versin
x
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {versin} x=\sin {x}}
∫
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}
d
d
x
vercos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {vercos} x=-\sin {x}}
∫
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {vercos} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}
d
d
x
coversin
x
=
−
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {coversin} x=-\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}
d
d
x
covercos
x
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {covercos} x=\cos {x}}
∫
c
o
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {covercos} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}
d
d
x
haversin
x
=
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {haversin} x={\frac {\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
−
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
havercos
x
=
−
sin
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {havercos} x={\frac {-\sin {x}}{2}}}
∫
h
a
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
+
sin
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {havercos} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}
d
d
x
hacoversin
x
=
−
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {hacoversin} x={\frac {-\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
s
i
n
(
x
)
d
x
=
x
+
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}
d
d
x
hacovercos
x
=
cos
x
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {hacovercos} x={\frac {\cos {x}}{2}}}
∫
h
a
c
o
v
e
r
c
o
s
(
x
)
d
x
=
x
−
cos
x
2
+
C
{\displaystyle \int \mathrm {hacovercos} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle.[ 4] Um die dabei erforderlichen Multiplikationen trigonometrischer Funktionen durch das Nachschlagen von Tabellenwerten[ 5] zu vereinfachen, wurde der Semiversus eingeführt.
Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:
s
e
m
(
a
)
=
s
e
m
(
b
−
c
)
+
sin
(
b
)
⋅
sin
(
c
)
⋅
s
e
m
(
α あるふぁ
)
{\displaystyle {\rm {sem}}(a)={\rm {sem}}(b-c)+\sin(b)\cdot \sin(c)\cdot {\rm {sem}}(\alpha )}
↑ Eric W. Weisstein : Versine . In: MathWorld (englisch).
↑ Eric W. Weisstein : Haversine . In: MathWorld (englisch).
↑ Eric W. Weisstein : Coversine . In: MathWorld (englisch).
↑ Bobby Schenk: Astronavigation: ohne Formeln - praxisnah . 2. Auflage. Delius Klasing & Co., Bielefeld 1978.
↑ Otto Fulst: Nautische Tafeln . Hrsg.: Johannes Lütjen, Walter Stein, Gerhard Zwiebler. 24. Auflage. Arthur Geist Verlag, Bremen 1972, 17–18.