Symplektische Gruppe
Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt[1] und geht auf das altgriechische Wort
Auch die Lie-Gruppe wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.
Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für jedes und jeden Körper mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe
mit
- ,
wobei die -Einheitsmatrix und die -Nullmatrix bezeichnet.
Für ist eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von ist
- .
Endliche Gruppen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist der Körper endlich mit Elementen, so schreibt man an Stelle von . Man erhält eine endliche Gruppe mit
Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus , es hat daher zwei Elemente für ungerades und ist trivial für gerades .
Projektive symplektische Gruppen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit Elementen ist
und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von und .[3] Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ Cn und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird auch mit bezeichnet.
Kompakte symplektische Gruppe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die kompakte symplektische Gruppe ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum definierte Skalarprodukt
erhalten.
Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. ist aber die kompakte reelle Form von .
ist eine -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist
- ,
wobei die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.
Es gilt .
Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Vladimir L. Popov: Symplectic group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165
- ↑ Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.
- ↑ Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Eric W. Weisstein: Symplectic Group. In: MathWorld (englisch).