Διαφορική γεωμετρία

Ηいーた διαφορική γεωμετρία^[1]^[2] είναι ένας κλάδος τたうωおめがνにゅー μαθηματικών χρησιμοποιεί τις τεχνικές τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού λογισμού, ολοκληρωτικού λογισμού, γραμμικής άλγεβρας κかっぱαあるふぁιいおた πολυγραμμικής άλγεβρας γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μελετήσει τたうαあるふぁ προβλήματα σしぐまτたうηいーた γεωμετρία. Ηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー επίπεδων κかっぱαあるふぁιいおた καμπυλών τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου κかっぱαあるふぁιいおた επιφανειών σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο αποτέλεσε τたうηいーた βάση γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάπτυξη της διαφορικής γεωμετρίας κατά τたうηいーた διάρκεια τたうοおみくろんυうぷしろん 18οおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん 19οおみくろんυうぷしろん αιώνα.

Από τたうαあるふぁ τέλη τたうοおみくろんυうぷしろん 19οおみくろんυうぷしろん αιώνα, ηいーた διαφορική γεωμετρία έχει εξελιχθεί σしぐまεいぷしろん ένα πεδίο πぱいοおみくろんυうぷしろん αφορά γενικότερα τις γεωμετρικές δομές στις διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Ηいーた διαφορική γεωμετρία είναι στενά συνδεδεμένη μみゅーεいぷしろん τたうηいーた διαφορική τοπολογία κかっぱαあるふぁιいおた τις γεωμετρικές πτυχές της θεωρίας τたうωおめがνにゅー διαφορικών εξισώσεων. Ηいーた διαφορική γεωμετρία τたうωおめがνにゅー επιφανειών συλλαμβάνει πολλές από τις βασικές ιδέες κかっぱαあるふぁιいおた τεχνικές, χαρακτηριστικές αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん τομέα.

Ιστορία της Ανάπτυξης

Ηいーた διαφορική γεωμετρία προέκυψε κかっぱαあるふぁιいおた αναπτύχθηκε ως αποτέλεσμα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μαθηματική ανάλυση τたうωおめがνにゅー καμπυλών κかっぱαあるふぁιいおた επιφανειών. Ηいーた μαθηματική ανάλυση τたうωおめがνにゅー καμπυλών κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー επιφανειών είχε αναπτυχθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ απαντήσει σしぐまεいぷしろん μερικά από τたうαあるふぁ ενοχλητικά κかっぱαあるふぁιいおた αναπάντητα ερωτήματα πぱいοおみくろんυうぷしろん εμφανίστηκαν σしぐまτたうοおみくろん λογισμό, όπως οおみくろんιいおた λόγοι γがんまιいおたαあるふぁ τις σχέσεις μεταξύ πολύπλοκων σχημάτων κかっぱαあるふぁιいおた καμπυλών, σειρών κかっぱαあるふぁιいおた αναλυτικών συναρτήσεων. Αυτά τたうαあるふぁ αναπάντητα ερωτήματα υποδείκνυαν μεγαλύτερες, κρυφές σχέσεις κかっぱαあるふぁιいおた συμμετρίες σしぐまτたうηいーた φύση, πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろんιいおた τυποποιημένες μέθοδοι γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάλυση δでるたεいぷしろんνにゅー θしーたαあるふぁ μπορούσαν νにゅーαあるふぁ εφαρμοστούν. ^[3]

Όταν καμπύλες, επιφάνειες πぱいοおみくろんυうぷしろん περικλείονται από καμπύλες, κかっぱαあるふぁιいおた σημεία σしぐまεいぷしろん καμπύλες βρέθηκαν νにゅーαあるふぁ είναι ποσοτικά, κかっぱαあるふぁιいおた γενικά συσχετιζόμενα μみゅーεいぷしろん μαθηματικές μορφές, ηいーた επίσημη μελέτη της φύσης τたうωおめがνにゅー καμπυλών κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー επιφανειών έγινε ένα πεδίο μόνο τたうοおみくろんυうぷしろん, μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー εργασία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκασπάρ Μみゅーοおみくろんνにゅーζぜーた τたうοおみくろん 1795, κかっぱαあるふぁιいおた ειδικότερα, μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー δημοσίευση της μελέτης τたうοおみくろんυうぷしろん Γκάους μみゅーεいぷしろん τίτλο "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" τたうοおみくろん 1827.

Αρχικά εφαρμόστηκε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー ευκλείδειο χώρο, περαιτέρω εξερευνήσεις οδήγησαν σしぐまεいぷしろん μみゅーηいーた ευκλείδειο χώρο, κかっぱαあるふぁιいおた μετρικούς κかっぱαあるふぁιいおた τοπολογικούς χώρους.

Κλάδοι της διαφορικής γεωμετρίας

Ριμάνεια γεωμετρία

Ηいーた Ριμάνεια γεωμετρία μελετά Πολλαπλότητες Ρίμαν ^[4], ομαλές πολλαπλότητες μみゅーεいぷしろん μετρική τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν. Αυτή είναι μみゅーιいおたαあるふぁ έννοια της απόστασης πぱいοおみくろんυうぷしろん εκφράζεται μέσω μιας ομαλής, θετικής, καθορισμένης συμμετρικής διγραμμικής μορφής πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー εφαπτόμενο χώρο σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο. Ηいーた Ριμάνεια γεωμετρία γενικεύει τたうηいーたνにゅー Ευκλείδεια γεωμετρία σしぐまεいぷしろん χώρους πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー είναι κかっぱαあるふぁτたう ' ανάγκη επίπεδο, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた εξακολουθούν νにゅーαあるふぁ μοιάζουν μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Ευκλείδειο χώρο σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο απειροελάχιστα, δηλαδή σしぐまτたうηいーたνにゅー πρώτη τάξη προσέγγισης. Διάφορες έννοιες μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん μήκος, όπως τたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου της καμπύλης, ηいーた περιοχή τたうωおめがνにゅー επίπεδων περιοχών, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん όγκου τたうωおめがνにゅー στερεών όλα διαθέτουν φυσικές αναλογίες σしぐまτたうηいーた Ριμάνεια γεωμετρία. Ηいーた έννοια της κατευθυντήριας παραγώγου μίας συνάρτησης από τたうοおみくろんνにゅー λογισμό πολλών μεταβλητών επεκτείνεται σしぐまτたうηいーた Ριμάνεια γεωμετρία μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια της συναλλοίωτης παραγώγου τたうοおみくろんυうぷしろん τανυστή. Πολλές έννοιες κかっぱαあるふぁιいおた τεχνικές της ανάλυσης κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー διαφορικών εξισώσεων έχουν γενικευτεί σしぐまτたうηいーた σύνθεση τたうωおめがνにゅー πολλαπλοτήτων Ρίμαν.

Ηいーた αμφιδιαφορίσιμη σχέση μεταξύ πολλαπλοτήτων Ρろーιいおたμみゅーαあるふぁνにゅー ηいーた οποία διατηρεί τたうηいーたνにゅー απόσταση ονομάζεται ισομετρία. Αυτή ηいーた έννοια μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ οριστεί σしぐまεいぷしろん τοπικό επίπεδο, δηλαδή γがんまιいおたαあるふぁ μικρές γειτονιές τたうωおめがνにゅー σημείων. Κάθε δύο κανονικές καμπύλες είναι τοπικά ισομετρικές. Ωστόσο, τたうοおみくろん Theorema Egregium τたうοおみくろんυうぷしろん Κかっぱαあるふぁρろーλらむだ Φρίντριχ Γκάους, έδειξε ότι γがんまιいおたαあるふぁ επιφάνειες, ηいーた ύπαρξη μιας τοπικής ισομετρίας επιβάλλει ισχυρή συμβατότητα συνθηκών τたうωおめがνにゅー μετρικών: ηいーたGaussian καμπυλότητα σしぐまτたうαあるふぁ αντίστοιχα σημεία πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι ηいーた ίδια. Σしぐまεいぷしろん υψηλότερες διαστάσεις, ηいーた καμπυλότητα τたうοおみくろんυうぷしろん τανυστή Ρίμαν είναι ένα σημαντικό, κατά σημείο αμετάβλητο, μέτρο πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τις πολλαπλότητες τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν, πぱいοおみくろんυうぷしろん μετρά πόσο κοντά είναι σしぐまτたうοおみくろん νにゅーαあるふぁ είναι επίπεδη. Μみゅーιいおたαあるふぁ σημαντική κατηγορία τたうωおめがνにゅー πολλαπλοτήτων Ρίμαν είναι οおみくろんιいおた συμμετρικοί χώροι Ρίμαν, τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた καμπυλότητα δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητα σταθερή. Αυτές είναι οおみくろんιいおた πぱいιいおたοおみくろん κοντινές αναλογίες σしぐまτたうοおみくろん «συνηθισμένο» επίπεδο κかっぱαあるふぁιいおた χώρο κかっぱαあるふぁιいおた εξετάζονται σしぐまτたうηいーたνにゅー Ευκλείδεια κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーηいーた Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ψευδο-Ριμάνεια γεωμετρία

Ηいーた Ψευδο-Ριμάνεια γεωμετρία γενικεύει τたうηいーたνにゅー Ριμάνεια γεωμετρία σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση κατά τたうηいーたνにゅー οποία οおみくろん μετρικός τανυστής δでるたεいぷしろんνにゅー χρειάζεται νにゅーαあるふぁ είναι θετικά ορισμένος. Μみゅーιいおたαあるふぁ ειδική περίπτωση αυτού είναι ηいーた Λορεντζιανή πολλαπλότητα, ηいーた οποία είναι ηいーた μαθηματική βάση τたうοおみくろんυうぷしろん Αϊνστάιν γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた γενική θεωρία της σχετικότητας της βαρύτητας.

Finsler γεωμετρία

Ηいーた Finsler γεωμετρία έχει τたうηいーたνにゅー πολλαπλότητα τたうοおみくろんυうぷしろん Finsler ως τたうοおみくろん κύριο αντικείμενο της μελέτης της. Αυτή είναι μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορική πολλαπλότητα μみゅーεいぷしろん μία μετρική τたうοおみくろんυうぷしろん Finsler,^[5] δηλαδή μία Μπάναχ νόρμα ορίζεται σしぐまεいぷしろん κάθε εφαπτόμενο χώρο. Οおみくろんιいおた πολλαπλότητες τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν είναι ειδικές περιπτώσεις τたうωおめがνにゅー πぱいιいおたοおみくろん γενικών Finsler πολλαπλοτήτων. Μία Finsler δομή πάνω σしぐまεいぷしろん μία πολλαπλότητα M είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση F : TM → [0,∞) τέτοια ώστε:

F(x, my) = |m|F(x,y) γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ x, y , σしぐまτたうοおみくろん TM,
F είναι απείρως διαφορίσιμη σしぐまτたうοおみくろん TM − {0},
Ηいーた κάθετη Hessian της F² είναι θετικά οριστιμένη.

Συμπλεκτική γεωμετρία

Ηいーた συμπλεκτική γεωμετρία είναι ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων. Μみゅーιいおたαあるふぁ σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι διαφορίσιμες πολλαπλή εξοπλισμένη μみゅーεいぷしろん μία ομαλή, μεταβαλλόμενη, μみゅーηいーた εκφυλισμένη, μみゅーεいぷしろん λοξή συμμετρία, διγραμμική μορφή σしぐまεいぷしろん κάθε χώρο εφαπτομένης, δηλαδή μία μみゅーηいーた εκφυλισμένη δίμορφη ωおめが, ονομάζεται συμπλεκτική μορφή. Μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι σχεδόν συμπλεκτική πολλαπλότητα, όταν ισχύει ηいーた συμπλεκτική μορφή ωおめが είναι κλειστή: dωおめが = 0.

Μία αμφιδιαφόριση μεταξύ δύο συμπλεκτικών πολλαπλοτήτων ηいーた οποία διατηρεί τたうηいーた συμπλεκτική μορφή, ονομάζεται συμπλεκτομορφισμός. Μみゅーηいーた-εκφυλισμένες, μみゅーεいぷしろん λοξή συμμετρία διγραμμικές μορφές μπορεί νにゅーαあるふぁ υπάρχουν σしぐまεいぷしろん ίσων διαστάσεων διανυσματικούς χώρους, οπότε οおみくろんιいおた συμπλεκτικές πολλαπλότητες πρέπει απαραίτητα νにゅーαあるふぁ έχουν ίδια διάσταση. Σしぐまεいぷしろん διάσταση 2, μία συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι απλά μみゅーιいおたαあるふぁ επιφάνεια προικισμένη μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ εμβαδική μορφή κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん συμπλεκτομορφισμός είναι ένας αμφιδιαφορισμός πぱいοおみくろんυうぷしろん διατηρεί τたうοおみくろん εμβαδό. Οおみくろん χώρος φάσεων ενός μηχανικού συστήματος είναι μία συμπλεκτική πολλαπλότητα κかっぱαあるふぁιいおた έκανε μみゅーιいおたαあるふぁ σιωπηρή εμφάνιση ήδη σしぐまτたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζぜーた σしぐまτたうηいーたνにゅー αναλυτική μηχανική κかっぱαあるふぁιいおた αργότερα οおみくろん [Carl Gustav Jacobi Κかっぱαあるふぁρろーλらむだ Γκούσταβ] Jacobi's κかっぱαあるふぁιいおた William Rowan Hamilton's συνθέσεις της κλασικής μηχανικής.

Αντίθετα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた Ριμάνεια γεωμετρία, όπου ηいーた καμπυλότητα εφοδιάζει μία τοπικά αμετάβλητη από τις πολλαπλότητες Ρίμαν, τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Νταρμπού αναφέρει ότι όλες οおみくろんιいおた συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι τοπικά ισόμορφες. Οおみくろんιいおた μόνες αμετάβλητες συμπλεκτικές πολλαπλότητες είναι παγκόσμιες σしぐまτたうηいーた φύση κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた τοπολογικές πτυχές διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο σしぐまτたうηいーた συμπλεκτική γεωμετρία. Τたうοおみくろん πρώτο αποτέλεσμα σしぐまτたうηいーた συμπλεκτική τοπολογία είναι ίσως τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Poincaré-Birkhoff , εικαζόμενο από τたうοおみくろんνにゅー Ανρί Πουανκαρέ, κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた συνέχεια αποδείχθηκε από τたうοおみくろんνにゅー G. D. Birkhoff τたうοおみくろん 1912. Ισχυρίζεται ότι αあるふぁνにゅー μみゅーιいおたαあるふぁ περιοχή διατηρεί τたうηいーたνにゅー απεικόνιση ενός δακτυλίου πぱいοおみくろんυうぷしろん στρεβλώνει κάθε οριακή συνιστώσα σしぐまεいぷしろん αντίθετες κατευθύνσεις, τότε ηいーた απεικόνιση έχει τουλάχιστον δύο σταθερά σημεία.

Γεωμετρία επαφής

Ηいーた γεωμετρία επαφής ασχολείται μみゅーεいぷしろん ορισμένες πολλαπλότητες σしぐまεいぷしろん περιττές διαστάσεις. Είναι κοντά σしぐまτたうηいーた συμπλεκτική γεωμετρία κかっぱαあるふぁιいおた όπως κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた δεύτερη, προέρχεται από τις ερωτήσεις της κλασικής μηχανικής. Μみゅーιいおたαあるふぁ επαφή δομή σしぐまεいぷしろん μία (2n + 1) - διαστάσεων πολλαπλότητα Μみゅー δίνεται από ένα ομαλό υπερεπίπεδο χώρο Ηいーた σしぐまτたうηいーたνにゅー εφαπτομένη δέσμη πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι όσο τたうοおみくろん δυνατόν πぱいιいおたοおみくろん μακριά από τたうοおみくろん νにゅーαあるふぁ συνδέεται μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ σύνολα τたうοおみくろんυうぷしろん επιπέδου μίας διαφορίσιμης συνάρτησης πάνω σしぐまτたうηいーたνにゅー M (οおみくろん τεχνικός όρος είναι "απόλυτα μみゅーηいーた-ολοκληρώσιμη εφαπτομένη υπερεπίπεδης κατανομής"). Κοντά σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο p, ηいーた υπερεπίπεδη κατανομή καθορίζεται από μία μみゅーηいーた μηδενιζόμενη 1-μορφή , ηいーた οποία είναι μοναδική εκτός από πολλαπλασιασμό μみゅーεいぷしろん μία μみゅーηいーた μηδενιζόμενη συνάρτηση:

H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.

Μία τοπικά 1-δομή σしぐまτたうοおみくろん M είναι μία δομή επαφής εάν οおみくろん περιορισμός της εξωτερικής παραγώγου σしぐまτたうοおみくろん Ηいーた είναι μみゅーιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた-εκφυλισμένη διπλή-δομή κかっぱαあるふぁιいおた έτσι επηρεάζει μみゅーιいおたαあるふぁ συμπλεκτική δομή Hp σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο. Αあるふぁνにゅー ηいーた κατανομή Ηいーた μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί από μみゅーιいおたαあるふぁ παγκόσμια δομή , τότε αυτή ηいーた δομή είναι δομή επαφής, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー ηいーた μεγαλύτερης διαστάσεως δομή

\alpha \wedge (d\alpha )^{n}

είναι μία δομή όγκου σしぐまτたうοおみくろん M, δηλαδή δでるたεいぷしろんνにゅー μηδενίζεται οπουδήποτε. Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ δομή ανάλογα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Darboux ισχύει: όλες οおみくろんιいおた δομές επαφής σしぐまεいぷしろん περιττών διαστάσεων πολλαπλότητα είναι τοπικά ισόμορφες κかっぱαあるふぁιいおた μπορούν νにゅーαあるふぁ μετασχηματιστούν σしぐまεいぷしろん συγκεκριμένη κανονική μορφή μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー κατάλληλη επιλογή τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος συντεταγμένων.

Μιγαδική κかっぱαあるふぁιいおた Kähler γεωμετρία

Ηいーた μιγαδική διαφορική γεωμετρία είναι ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー μιγαδικών πολλαπλοτήτων. Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα είναι μία πραγματική πολλαπλότητα , προικισμένη μみゅーεいぷしろん ένα τανυστή τたうοおみくろんυうぷしろん τύπου (1, 1), δηλαδή ένα διάνυσμα δέσμης ενδομορφισμών (πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται μみゅーιいおたαあるふぁ σχεδόν μιγαδική δομή)

J:TM\rightarrow TM

, τέτοια ώστε

J^{2}=-1.\,

Προκύπτει από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό αυτό ότι μία μιγαδική πολλαπλότητα είναι άρτιων διαστάσεων.

Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα ονομάζεται μιγαδική αあるふぁνにゅー , όπου είναι ένας τανυστής τύπου (2, 1) σχετιζόμενος μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん , πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται Nijenhuis τανυστής (ή μερικές φορές στρέψη). Μία σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα ονομάζεται μιγαδική αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー επιτρέπει έναν ολομορφισμό συντεταγμένων τたうοおみくろんυうぷしろん άτλαντα. Μία σχεδόν ερμιτιανή δομή δίνεται από μみゅーιいおたαあるふぁ σχεδόν μιγαδική δομή J, μαζί μみゅーεいぷしろん μία Riemann μετρική g, ικανοποιώντας τたうηいーたνにゅー υπόθεση συμβατότητας

g(JX,JY)=g(X,Y)\,

.

Μία σχεδόν Ερμιτιανή δομή καθορίζει φυσικά μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορική διπλή-μορφή

\omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,

.

Οおみくろんιいおた δύο ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:

$N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,$
$\nabla J=0\,$

Όπου είναι οおみくろん [Tullio Levi-Civita Levi-Civita] σύνδεσμος της . Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή, ονομάζεται Kähler δομή, κかっぱαあるふぁιいおた μία Kähler πολλαπλότητα είναι μία πολλαπλότητα προικισμένη μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ Kähler δομή. Ειδικότερα, μία Kähler πολλαπλότητα είναι ταυτόχρονα μιγαδική κかっぱαあるふぁιいおた συμπλεκτική πολλαπλότητα. Μみゅーιいおたαあるふぁ μεγάλη κατηγορία τたうωおめがνにゅー Kähler πολλαπλοτήτων (της τάξης τたうωおめがνにゅー []Χかいοおみくろんτたうζぜーた πολλαπλοτήτων) δίνεται από όλες τις ομαλές μιγαδικές προβολικές πολλαπλότητες.

CR γεωμετρία

Ηいーた CR γεωμετρία είναι ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー εσωτερικών γεωμετριών τたうωおめがνにゅー ορίων τたうωおめがνにゅー πεδίων ορισμών τたうωおめがνにゅー μιγαδικών πολλαπλοτήτων.

Διαφορική τοπολογία

Ηいーた Διαφορική τοπολογία είναι ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー (παγκόσμιων) γεωμετρικών αναλλοίωτων χωρίς μετρική ή συμπλεκτική μορφή. Ξεκινά από τις φυσικές πράξεις όπως ηいーた Λらむだιいおた παράγωγος τたうωおめがνにゅー φυσικών διανυσματικών δεσμών ηいーた διαφορική [Georges de Rham de Rham] τたうωおめがνにゅー δομών. Εκτός από τたうηいーたνにゅー άλγεβρα Λらむだιいおた, επίσης κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた άλγεβρα τたうοおみくろんυうぷしろん Courant άρχισαν νにゅーαあるふぁ παίζουν έναν πぱいιいおたοおみくろん σημαντικό ρόλο.

Ομάδες Λらむだιいおた

Μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα Λらむだιいおた είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ομάδα σしぐまτたうηいーたνにゅー κατηγορία ομαλές πολλαπλότητες. Εκτός από τις αλγεβρικές ιδιότητες αυτή εφαρμόζει επίσης κかっぱαあるふぁιいおた διαφορικές γεωμετρικές ιδιότητες. Ηいーた πぱいιいおたοおみくろん προφανής δομή είναι αυτή της άλγεβρας Λらむだιいおた ηいーた οποία είναι οおみくろん εφαπτόμενος χώρος σしぐまτたうηいーた μονάδα προικισμένη μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αγκύλη Λらむだιいおた μεταξύ τたうωおめがνにゅー αριστερά-αμετάβλητων διανυσματικών πεδίων. Εκτός από τたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー δομών, υπάρχει επίσης τたうοおみくろん ευρύ πεδίο της θεωρίας αναπαράστασης.

Δέσμες κかっぱαあるふぁιいおた συνδέσεις

Τたうοおみくろん σύστημα τたうωおめがνにゅー διανυσματικών δεσμών, κύριων δεσμών κかっぱαあるふぁιいおた σχέσεων επί τたうωおめがνにゅー δεσμών παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο σしぐまτたうηいーた σύγχρονη διαφορική γεωμετρία. Μみゅーιいおたαあるふぁ ομαλή πολλαπλότητα φέρει πάντα μία φυσική διανυσματική δέσμη, τたうηいーたνにゅー εφαπτόμενη δέσμη. Χαλαρά μιλώντας, αυτή ηいーた δομή από μόνη της είναι αρκετή μόνο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάπτυξη της ανάλυσης σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πολλαπλότητα, ενώ ηいーた γεωμετρία απαιτεί, επιπλέον, μみゅーεいぷしろん κάποιο τρόπο νにゅーαあるふぁ σχετίζονται οおみくろんιいおた εφαπτόμενοι χώροι σしぐまεいぷしろん διαφορετικά σημεία, δηλαδή μみゅーιいおたαあるふぁ έννοια της παράλληλης μεταφοράς. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι οおみくろん συσχετισμένος σύνδεσμος. Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ επιφάνεια σしぐまτたうοおみくろん R3, τたうαあるふぁ εφαπτόμενα επίπεδα σしぐまεいぷしろん διαφορετικά σημεία μπορούν νにゅーαあるふぁ προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας ένα φυσικό μονοπάτι παραλληλισμού πぱいοおみくろんυうぷしろん προκαλείται από τたうοおみくろんνにゅー περικλείων Ευκλείδειο χώρο, οおみくろん οποίος έχει ένα καλά ορισμένο πρότυπο ορισμό της μετρικής κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλισμού. Σしぐまτたうηいーた Ρίμαν γεωμετρία, ηいーた Levi-Civita σύνδεση εξυπηρετεί έναν παρόμοιο σκοπό. (Ηいーた Levi-Civita σύνδεση ορίζει ένα μονοπάτι παραλληλισμού, υπό τたうοおみくろんνにゅー όρο μίας αυθαίρετης Ρίμαν μετρικής σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ πολλαπλότητα.) Γενικότερα, οおみくろんιいおた διαφορικοί γεωμέτρες μελετούν τους χώρους μみゅーεいぷしろん μία διανυσματική δέσμη κかっぱαあるふぁιいおた έναν αυθαίρετο συσχετισμένο σύνδεσμο οおみくろん οποίος δでるたεいぷしろんνにゅー υπακούει στους όρους της μετρικής. Σしぐまτたうηいーた φυσική, ηいーた πολλαπλότητα μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん χωροχρονικό συνεχές κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δέσμες κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた συνδέσεις σχετίζονται μみゅーεいぷしろん διάφορα πεδία της φυσικής.

Εσωτερικός έναντι εξωτερικού

Από τたうηいーたνにゅー αρχή κかっぱαあるふぁιいおた μέσα από τたうαあるふぁ μέσα τたうοおみくろんυうぷしろん 18οおみくろんυうぷしろん αιώνα, ηいーた διαφορική γεωμετρία μελετήθηκε από τたうηいーたνにゅー εξωτερική άποψη: καμπύλες κかっぱαあるふぁιいおた επιφάνειες θεωρούνται ότι κείτονται σしぐまεいぷしろん έναν Ευκλείδειο χώρο υψηλότερης διάστασης (γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, μみゅーιいおたαあるふぁ επιφάνεια σしぐまεいぷしろん έναν περικλείων χώρο τたうωおめがνにゅー τριών διαστάσεων). Τたうαあるふぁ απλούστερα αποτελέσματα είναι αυτά σしぐまτたうηいーたνにゅー διαφορική γεωμετρία τたうωおめがνにゅー καμπυλών κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた διαφορική γεωμετρία τたうωおめがνにゅー επιφανειών. Ξεκινώντας μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん Riemann, ηいーた εσωτερική άποψη αναπτύχθηκε, σしぐまτたうηいーたνにゅー οποία δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ μιλήσει γがんまιいおたαあるふぁ μετακίνηση "εκτός" τたうοおみくろんυうぷしろん γεωμετρικό αντικειμένου, επειδή θεωρείται δεδομένη κατά έναν αυθαίρετο τρόπο. Τたうοおみくろん θεμελιώδες αποτέλεσμα είναι τたうοおみくろん [Theorema Egregium Gauss theorema egregium], μみゅーεいぷしろん αποτέλεσμα ότι ηいーた Gaussian καμπυλότητα είναι μみゅーιいおたαあるふぁ εσωτερική αμετάβλητος.

Ηいーた εσωτερική άποψη είναι πぱいιいおたοおみくろん ευέλικτη. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, είναι χρήσιμο σしぐまτたうηいーた σχετικότητα, όπου οおみくろん χώρος-χρόνος, δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί φυσικά νにゅーαあるふぁ ληφθεί ως εξωτερικός (τたうιいおた θしーたαあるふぁ είναι "έξω" από τたうιいおた;). Ωστόσο, υπάρχει ένα τίμημα σしぐまτたうηいーたνにゅー τεχνική πολυπλοκότητα: οおみくろんιいおた εσωτερικοί ορισμοί της καμπυλότητας κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー συνδέσεων έχουν γίνει πολύ λιγότερο οπτικά διαισθητικοί.

Αυτές οおみくろんιいおた δύο απόψεις μπορούν νにゅーαあるふぁ συμβιβαστούν, δηλαδή ηいーた εξωτερική γεωμετρία μπορεί νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως μみゅーιいおたαあるふぁ δομή επιπρόσθετη μみゅーεいぷしろん τις εσωτερικές. (Δείτε τたうοおみくろん Νας ενσωμάτωση θεώρημα.) Σしぐまτたうοおみくろん φορμαλισμό τたうοおみくろんυうぷしろん γεωμετρικού λογισμού τόσο ηいーた εξωτερική κかっぱαあるふぁιいおた εσωτερική γεωμετρία μιας πολλαπλότητας μπορεί νにゅーαあるふぁ χαρακτηριστεί από ένα μόνο διάνυσμα μονότιμης μορφής πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται σχηματικός τελεστής.

Εφαρμογές

Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん πώς ηいーた διαφορική γεωμετρία εφαρμόζεται κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん άλλους τομείς της επιστήμης κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー μαθηματικών.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー φυσική, τέσσερις εφαρμογές θしーたαあるふぁ αναφερθούν.
Ηいーた διαφορική γεωμετρία είναι ηいーた γλώσσα ηいーた οποία εκφράζει τたうηいーたνにゅー θεωρία της σχετικότητας τたうοおみくろんυうぷしろん Αϊνστάιν . Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた θεωρία αυτή, τたうοおみくろん σύμπαν είναι μία ομαλή πολλαπλότητα εφοδιασμένη μみゅーεいぷしろん μία ψぷさいεいぷしろんυうぷしろんδでるたοおみくろん-Riemann μετρική, ηいーた οποία περιγράφει τたうηいーたνにゅー καμπυλότητα τたうοおみくろんυうぷしろん χωροχρόνου. Ηいーた κατανόηση της καμπυλότητας είναι ουσιώδης γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー τοποθέτηση τたうωおめがνにゅー δορυφόρων σしぐまεいぷしろん τροχιά γύρω από τたうηいーた γがんまηいーた. Ηいーた διαφορική γεωμετρία είναι επίσης απαραίτητη γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー μελέτη τたうοおみくろんυうぷしろん βαρυτικού εστιασμού κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー μαύρων τρυπών.
Οおみくろんιいおた διαφορικές μορφές χρησιμοποιούνται σしぐまτたうηいーたνにゅー μελέτη τたうοおみくろんυうぷしろん ηλεκρομαγνητισμού.
Ηいーた διαφορική γεωμετρία έχει εφαρμογές σしぐまτたうηいーたνにゅー μηχανική τたうοおみくろんυうぷしろん Lagrange κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん Hamilton. Οおみくろんιいおた συμπλεκτικές πολλαπλότητες ειδικότερα χρησιμοποιούνται σしぐまτたうηいーたνにゅー μελέτη τたうωおめがνにゅー συστημάτων Hamilton.
Ηいーた γεωμετρία τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた γεωμετρία επαφής έχουν χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ κατασκευαστεί οおみくろん φορμαλισμός της γεωμετροθερμοδυναμικής οおみくろん οποίος έχει εφαρμογές σしぐまτたうηいーたνにゅー κλασική θερμοδυναμική ισορροπίας.
Σしぐまτたうαあるふぁ οικονομικά, ηいーた διαφορική γεωμετρία έχει εφαρμογές σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τομέα της οικονομετρίας.^[6]
Ηいーた γεωμετρική μοντελοποίηση( συμπεριλαμβάνοντας τたうαあるふぁ γραφικά υπολογιστών) κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων μみゅーεいぷしろん τたうηいーた βοήθεια υπολογιστή παίρνουν ιδέες από τたうηいーた διαφορική γεωμετρία.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー μηχανική, ηいーた διαφορική γεωμετρία μπορεί νにゅーαあるふぁ εφαρμοστεί σしぐまτたうηいーたνにゅー επίλυση προβλημάτων πぱいοおみくろんυうぷしろん αφορούν τたうηいーたνにゅー επεξεργασία ψηφιακού σήματος.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー θεωρία ελέγχου, ηいーた διαφορική γεωμετρία μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάλυση μή γραμμικών ελεγκτών, ειδικότερα γεωμετρικού ελέγχου.
Στις πιθανότητες, σしぐまτたうηいーたνにゅー στατιστική κかっぱαあるふぁιいおた θεωρία πληροφορίας, μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ ερμηνεύσει ποικίλες δομές ως πολλαπλότητες Riemann, τたうοおみくろん οποίο απέφερε τたうοおみくろん πεδίο της γεωμετρίας της πληροφορίας, ειδικότερα μέσω της Fisher μετρική της πληροφορίας.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー κατασκευαστική γεωλογία, ηいーた διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάλυση κかっぱαあるふぁιいおた επεξήγηση γεωλογικών δομών.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー όραση μέσω υπολογιστή, ηいーた διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάλυση σχημάτων.
Σしぐまτたうηいーたνにゅー επεξεργασία εικόνας, ηいーた διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ ανάλυση κかっぱαあるふぁιいおた επεξεργασία δεδομένων τたうωおめがνにゅー μή-επίπεδων επιφανειών.
Ηいーた απόδειξη της εικασίας τたうοおみくろんυうぷしろん Poincare από τたうοおみくろんνにゅー Grigori Perelman πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιεί τις τεχνικές της Ricci ροής απέδειξε τたうηいーたνにゅー δύναμη της διαφορικής γεωμετρικής προσέγγισης σしぐまεいぷしろん ερωτήματα τοπολογίας κかっぱαあるふぁιいおた τόνισε τたうηいーたνにゅー σημαντικότητά της στις αναλυτικές μεθόδους.
Στις ασύρματες επικοινωνίες, οおみくろんιいおた πολλαπλότητες τたうοおみくろんυうぷしろん Grassmann χρησιμοποιούνται σしぐまτたうηいーたνにゅー διαμόρφωση τεχνικών σしぐまεいぷしろん συστήματα μみゅーεいぷしろん πολλαπλές κεραίες.

Παραπομπές

↑ «Διαφορική Γεωμετρία - Πανεπιστήμιο Κρήτης» (PDF).
↑ «Differential Geometry». arxiv.org (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 1 Αυγούστου 2024.
↑ Fré, Pietro Giuseppe (2018). Fré, Pietro Giuseppe, επιμ. A Short History of Differential Geometry. Cham: Springer International Publishing. σελίδες 157–206. ISBN 978-3-319-98023-2.
↑ Greene, Robert Everist· Yau, Shing-Tung (1993). Differential Geometry: Riemannian Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1496-3.
↑ Shen, Zhongmin (14 Μαρτίου 2013). Differential Geometry of Spray and Finsler Spaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-9727-2.
↑ Marriott, Paul; Salmon, Mark, eds. (2000). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5.

[1] «Διαφορική Γεωμετρία - Πανεπιστήμιο Κρήτης» (PDF).

[2] «Differential Geometry». arxiv.org (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 1 Αυγούστου 2024.

[3] Fré, Pietro Giuseppe (2018). Fré, Pietro Giuseppe, επιμ. A Short History of Differential Geometry. Cham: Springer International Publishing. σελίδες 157–206. ISBN 978-3-319-98023-2.

[4] Greene, Robert Everist· Yau, Shing-Tung (1993). Differential Geometry: Riemannian Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1496-3.

[5] Shen, Zhongmin (14 Μαρτίου 2013). Differential Geometry of Spray and Finsler Spaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-9727-2.

[6] Marriott, Paul; Salmon, Mark, eds. (2000). Applications of Differential Geometry to Econometrics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]