Εγγεγραμμένος κかっぱαあるふぁιいおた Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Οおみくろん εγγεγραμμένος κύκλος κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Σしぐまτたうηいーた γεωμετρία, σしぐまεいぷしろん ένα τρίγωνο οおみくろん εγγεγραμμένος κύκλος $(\mathrm {I} ,\rho )$ είναι οおみくろん κύκλος πぱいοおみくろんυうぷしろん εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん. Τたうοおみくろん κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん είναι τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー διχοτόμων τたうοおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται έγκεντρο.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$, $(\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })$ κかっぱαあるふぁιいおた $(\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })$ πぱいοおみくろんυうぷしろん εφάπτονται στις τρεις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου εξωτερικά αυτού. Τたうοおみくろん κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん $(\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ είναι τたうοおみくろん σημείο τομής της διχοτόμου τたうοおみくろんυうぷしろん ${\hat {\rm {A}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー εξωτερικών διχοτόμων τたうωおめがνにゅー ${\hat {\rm {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\hat {\rm {\Gamma }}}$, κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται παράκεντρο.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Θεώρημα — Οおみくろんιいおた εσωτερικές διχοτόμοι ${\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ενός τριγώνου διέρχονται από τたうοおみくろん ίδιο σημείο, τたうοおみくろん έγκεντρο, τたうοおみくろん οποίο είναι τたうοおみくろん κέντρου τたうοおみくろんυうぷしろん εγγεγραμμένου κύκλου.

Τたうοおみくろん έγκεντρο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん εγγεγραμμένος κύκλος σしぐまεいぷしろん ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο κかっぱαあるふぁιいおた ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Αποδείξεις

Απόδειξη (μみゅーεいぷしろん ιδιότητες διχοτόμων)  

Έστω ${\rm {B\Delta _{B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ οおみくろんιいおた διχοτόμοι τたうωおめがνにゅー γωνιών ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {I'}}$ τたうοおみくろん σημείο τομής τους. Από τたうηいーたνにゅー κύρια ιδιότητα τたうωおめがνにゅー διχοτόμων, κάθε σημείο της ${\rm {B\Delta _{B}}}$ ισαπέχει από τις πλευρές ${\rm {BA}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {B\Gamma }}$. Αντίστοιχα, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$.

Επομένως, τたうοおみくろん ${\rm {I'}}$ ισαπέχει από τις τρεις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου κかっぱαあるふぁιいおた άρα ανήκει κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Καταλήγουμε ότι ${\rm {I'}}$ είναι τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー διχοτόμων τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου.

Απόδειξη (μみゅーεいぷしろん θεώρημα Τσέβα)  

Από τたうοおみくろん θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε γがんまιいおたαあるふぁ τις διχοτόμους ${\rm {A\Delta _{A}}}$, ${\rm {B\Delta _{B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}$ ότι

${\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}$

Επομένως, έχουμε ότι

${\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}$,

κかっぱαあるふぁιいおた από τたうοおみくろん αντίστροφο θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Τσέβα καταλήγουμε ότι οおみくろんιいおた τρεις διχοτόμοι διέρχονται από τたうοおみくろん ίδιο σημείο.

Ιδιότητες

• Τたうοおみくろん έγκεντρο ${\rm {I}}$ είναι σημείο εσωτερικό τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου.
• Ηいーた γωνία τたうωおめがνにゅー διχοτόμων τたうωおめがνにゅー ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση μみゅーεいぷしろん $90^{o}+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Αφού ${\rm {BI}}$ ηいーた διχοτόμος της ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma I}}$ ηいーた διχοτόμος της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$, έχουμε ότι ${\rm {\angle IB\Gamma ={\tfrac {\hat {B}}{2}}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\angle I\Gamma B={\tfrac {\hat {\Gamma }}{2}}}}$. Επομένως, αφού οおみくろんιいおた γωνίες τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {BI\Gamma }}$ αθροίζουν στις $180^{o}$

${\rm {\angle AIB=180^{o}-{\frac {{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}{2}}=180^{o}-{\frac {180^{o}-{\hat {A}}}{2}}=90^{0}+{\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$.

• Αあるふぁνにゅー ${\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}$ οおみくろんιいおた προβολές τたうοおみくろんυうぷしろん ${\rm {I}}$ στις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, τότε

${\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Τたうαあるふぁ τρίγωνα ${\rm {AII_{B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {AII_{\Gamma }}}$ είναι ίσα, καθώς ${\rm {AI}}$ κοινή, ${\rm {\angle IAI_{B}=\angle IAI_{\Gamma }={\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {{\hat {I_{B}}}={\hat {I_{\Gamma }}}=90^{o}}}$. Επομένως, ${\rm {AI_{B}=AI_{\Gamma }=x}}$. Αντίστοιχα, ${\rm {BI_{A}=B_{\Gamma }=y}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=z}}$.

Επίσης, έχουμε ότι

${\begin{aligned}y+z&=\alpha \\x+z&=\beta \\y+x&=\gamma \end{aligned}}$

Λύνοντας τたうοおみくろん σύστημα τたうωおめがνにゅー εξισώσεων βρίσκουμε ότι

$x=\tau -\alpha ,\quad y=\tau -\beta \quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $z=\tau -\gamma$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$.

• Τたうοおみくろん τρίγωνο ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$ ονομάζεται τたうοおみくろん τρίγωνο Gergonne.
• (Σημείο Gergonne) Τたうαあるふぁ ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}$ διέρχονται από τたうοおみくろん ίδιο σημείο.
• Οおみくろんιいおた ευθείες ${\rm {IA,IB,I\Gamma }}$ είναι μεσοκάθετοι τたうωおめがνにゅー πλευρών τたうοおみくろんυうぷしろん ${\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}$.
• Τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο

$\mathrm {E} =\tau \cdot \rho$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι ηいーた ημιπερίμετρος τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου.

• Από τたうοおみくろんνにゅー τύπο τたうοおみくろんυうぷしろん Ήρωνα, προκύπτει ότι ηいーた ακτίνα τたうοおみくろんυうぷしろん εγγεγραμμένου κύκλου

$\rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης

Τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τύπο

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{ABI}+E_{B\Gamma I}+E_{\Gamma AI}}}$.

Από τたうοおみくろんνにゅー τύπο γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου έχουμε ότι

${\rm {E_{ABI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ,\quad {\rm {E_{B\Gamma I}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho ,\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad {\rm {E_{\Gamma AI}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho$.

Επομένως,

${\rm {E_{AB\Gamma }={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \beta \cdot \rho +{\tfrac {1}{2}}\cdot \gamma \cdot \rho ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )\cdot \rho =\tau \cdot \rho }}$.

Από τたうοおみくろんνにゅー τύπο τたうοおみくろんυうぷしろん Ήρωνα, προκύπτει οおみくろん πρώτος τύπος γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん εμβαδόν.

• Επίσης, ηいーた ακτίνα τたうοおみくろんυうぷしろん εγγεγραμμένου κύκλου τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

κかっぱαあるふぁιいおた από

$\rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αあるふぁνにゅー $(\mathrm {O} ,R)$ είναι οおみくろん περιγεγραμμένος κύκλος τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, τότε

$\mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho$.

• (Θεώρημα Καρνό) Αあるふぁνにゅー ${\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}$ είναι οおみくろんιいおた προσημασμένες αποστάσεις τたうοおみくろんυうぷしろん περίκεντρου από τις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ κかっぱαあるふぁιいおた $R$ ηいーた ακτίνα τたうοおみくろんυうぷしろん περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

${\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho$.

• Οおみくろんιいおた τριγραμμικές συντεταγμένες τたうοおみくろんυうぷしろん έγκεντρου είναι $1:1:1$.
• Οおみくろんιいおた βαρυκεντρικές συντεταγμένες τたうοおみくろんυうぷしろん έγκεντρου είναι $\alpha :\beta :\gamma$.
• Οおみくろんιいおた καρτεσιανές συντεταγμένες τたうοおみくろんυうぷしろん έγκεντρου είναι

$\left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)$.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$, $({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})$ κかっぱαあるふぁιいおた $({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})$. Οおみくろん παρεγγεγραμμένος κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ έχει κέντρο τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ κかっぱαあるふぁιいおた της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {A}}}$. Τたうαあるふぁ σημεία πぱいοおみくろんυうぷしろん εφάπτεται οおみくろん κύκλος $({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})$ μみゅーεいぷしろん τις πλευρές ${\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}$ συμβολίζονται μみゅーεいぷしろん ${\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}$ αντίστοιχα.

Οおみくろんιいおた παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {J_{\Gamma }'}}$ τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー εξωτερικών διχοτόμων τたうωおめがνにゅー ${\rm {\hat {A}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\hat {B}}}$. Τότε, από τたうηいーたνにゅー ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τたうαあるふぁ σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}$. Επομένως, ${\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}$ κかっぱαあるふぁιいおた έτσι τたうοおみくろん ${\rm {I_{A}'}}$ είναι σημείο της διχοτόμου τたうοおみくろんυうぷしろん ${\rm {\hat {A}}}$.

Ιδιότητες

• Τたうαあるふぁ παράκεντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι σημεία εξωτερικά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου.
• Τたうαあるふぁ σημεία ${\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}$ είναι συνευθειακά, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ ${\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}$.
• Ηいーた γωνία τたうωおめがνにゅー εξωτερικών διχοτόμων τたうωおめがνにゅー ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ίση μみゅーεいぷしろん $90^{o}-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Αφού ${\rm {BJ_{A}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma J_{A}}}$ είναι εξωτερικές διχοτόμοι, έχουμε ότι

${\rm {\angle J_{A}B\Gamma ={\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}}\quad }}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad {\rm {\angle J_{A}\Gamma B={\tfrac {180^{o}-{\hat {\Gamma }}}{2}}}}$.

Από τたうοおみくろん τρίγωνο ${\rm {B\Gamma J_{A}}}$ έχουμε ότι

${\rm {\angle BJ_{A}\Gamma =180^{o}-{\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}}-{\tfrac {180^{o}-{\hat {\Gamma }}}{2}}={\tfrac {{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}{2}}=90^{o}-{\tfrac {\hat {A}}{2}}.}}$

• Ηいーた γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {B}}}$ κかっぱαあるふぁιいおた της εξωτερικής διχοτόμου της ${\rm {\hat {\Gamma }}}$ είναι ${\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}$.

Απόδειξη  

Από τたうοおみくろん τρίγωνο ${\rm {BJ_{A}J_{B}}}$ έχουμε ότι

${\rm {\angle BJ_{A}J_{B}=180^{o}-({\tfrac {\hat {B}}{2}}+{\tfrac {180^{o}-{\hat {B}}}{2}})-(90^{o}-{\tfrac {\hat {A}}{2}})={\tfrac {\hat {A}}{2}}}}$.

• (Σημείο Gergonne) Τたうαあるふぁ ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ διέρχονται από τたうοおみくろん ίδιο σημείο.
• Ισχύει ότι ${\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}$, ${\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}$, όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ ηいーた ημιπερίμετρος.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι ${\rm {AI_{A}''=AI_{A}'''}}$ ως τたうαあるふぁ ευθύγραμμα τμήματα τたうοおみくろんυうぷしろん ${\rm {A}}$ εφαπτόμενα σしぐまεいぷしろん κύκλο. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー ίδιο λόγο έχουμε ότι ${\rm {BI_{A}''=BI_{A}'}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}'''}}$. Επομένως, παίρνουμε τたうοおみくろん σύστημα

${\begin{aligned}y+\beta &=x+\gamma \\x+y&=\alpha .\end{aligned}}$

Τたうοおみくろん σύστημα έχει λύση

$x=\tau -\gamma \quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad y=\tau -\beta$.

Αντίστοιχα κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ υπόλοιπα τμήματα.

• Αあるふぁνにゅー ${\rm {A'}}$ τたうοおみくろん σημείο τομής της προέκτασης της ${\rm {AI}}$ μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー περιγεγραμμένο κύκλο, τότε

${\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}$.

• (Θεώρημα Όιλερ) Αあるふぁνにゅー $(\mathrm {O} ,R)$ είναι οおみくろん περιγεγραμμένος κύκλος τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, τότε

$\mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }$.

• Τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ δίνεται από τους τύπους:

${\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}$

κかっぱαあるふぁιいおた

${\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}$.

• Από τたうοおみくろんνにゅー τύπο τたうοおみくろんυうぷしろん Ήρωνα, ηいーた ακτίνα τたうοおみくろんυうぷしろん παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο

$\rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},$ $\quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}$.

Απόδειξη  

Από τたうοおみくろん σχήμα έχουμε ότι

${\rm {E_{AB\Gamma }=E_{AJ_{A}I_{A}''}+E_{AJ_{A}I_{A}'''}-E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}-E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}}}$.

Αφού τたうαあるふぁ τρίγωνα ${\rm {J_{A}I_{A}'B}}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\rm {J_{A}I_{A}''B}}$ είναι ίσα, έχουμε ότι

${\rm {E_{BI_{A}'I_{A}''J_{A}}=2\cdot E_{BJ_{A}I_{A}''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot x$.

Αντίστοιχα,

${\rm {E_{J_{A}I_{A}'\Gamma I_{A}''}=2\cdot E_{\Gamma J_{A}I_{A}'''}}}=\rho _{\rm {A}}\cdot y$.

Συνδυάζοντας τたうαあるふぁ παραπάνω κかっぱαあるふぁιいおた αφού $x+y=\alpha$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\rm {E_{AB\Gamma }}}&={\tfrac {1}{2}}\cdot (\gamma +x)\cdot \rho _{\rm {A}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +y)\cdot \rho _{\rm {A}}-\rho _{\rm {A}}\cdot x-\rho _{\rm {A}}\cdot y\\&=\rho _{\rm {A}}\cdot (\tau -\alpha ).\end{aligned}}$

• Επίσης, οおみくろんιいおた ακτίνες τたうωおめがνにゅー παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις

$\rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\Gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}$,

κかっぱαあるふぁιいおた επίσης

$\rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}$, $\quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad$ κかっぱαあるふぁιいおた $\quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}$.

• (Σημείο Νάγκελ) Αあるふぁνにゅー ${\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}$ τたうαあるふぁ σημεία επαφής τたうωおめがνにゅー παρεγγεγραμμένων κύκλων μみゅーεいぷしろん κέντρα ${\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}$ μみゅーεいぷしろん τις πλευρές ${\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}$ τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου, τότε τたうαあるふぁ ${\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}$ συντρέχουν σしぐまτたうοおみくろん σημείο Νάγκελ.
• Οおみくろんιいおた εσωτερικές διχοτόμοι τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι ύψη τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου ${\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}$.
• Αあるふぁνにゅー $R$ ηいーた ακτίνα τたうοおみくろんυうぷしろん περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι $\rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R$.
• Οおみくろんιいおた τριγραμμικές συντεταγμένες τたうωおめがνにゅー παρακέντρων είναι $-1:1:1$, $1:-1:1$ κかっぱαあるふぁιいおた $1:1:-1$ αντίστοιχα.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Περιγεγραμμένος κύκλος
• Βαρύκεντρο τριγώνου
• Ορθόκεντρο τριγώνου