Πίνακας GCD

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, οおみくろん πίνακας τたうοおみくろんυうぷしろん μέγιστου κοινού διαιρέτη (μερικές φορές συντομογραφείται ως πίνακας GCD) είναι ένας πίνακας πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ αναφέρεται ως πίνακας τたうοおみくろんυうぷしろん Σしぐまμみゅーιいおたθしーた. Ηいーた μελέτη τたうοおみくろんυうぷしろん ξεκίνησε από τたうοおみくろんνにゅー H.J.S. Σμιθ (1875). Μみゅーιいおたαあるふぁ νέα έμπνευση ξεκίνησε από τたうηいーたνにゅー εργασία τたうωおめがνにゅー Μπουρκ & Λιχ (1992). Αυτό οδήγησε σしぐまεいぷしろん εντατικές έρευνες σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ιδιομορφία κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた διαιρετότητα τたうωおめがνにゅー πινάκων τύπου GCD. Μみゅーιいおたαあるふぁ σύντομη ανασκόπηση τたうωおめがνにゅー εργασιών σχετικά μみゅーεいぷしろん τους πίνακες τύπου GCD πぱいρろーιいおたνにゅー από εκείνη τたうηいーたνにゅー εποχή παρουσιάζεται σしぐまτたうοおみくろん Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997).

Ορισμός

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	3	1	1	3	1	1	3	1
1	2	1	4	1	2	1	4	1	2
1	1	1	1	5	1	1	1	1	5
1	2	3	2	1	6	1	2	3	2
1	1	1	1	1	1	7	1	1	1
1	2	1	4	1	2	1	8	1	2
1	1	3	1	1	3	1	1	9	1
1	2	1	2	5	2	1	2	1	10
Πίνακας GCD τたうοおみくろんυうぷしろん (1,2,3,...,10)

Έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένας κατάλογος θετικών ακεραίων αριθμών. Τότε οおみくろん $n\times n$ πίνακας $(S)$ πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει τたうοおみくろんνにゅー μέγιστο κοινό διαιρέτη $\gcd(x_{i},x_{j})$ ως τたうηいーたνにゅー $ij$ είσοδό τたうοおみくろんυうぷしろん, αναφέρεται ως πίνακας GCD σしぐまτたうοおみくろん $S$.Οおみくろん πίνακας LCM $[S]$ ορίζεται αναλογικά.

Ηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー πινάκων τύπου GCD προέρχεται από τたうοおみくろんνにゅー Smith (1875), οおみくろん οποίος αξιολόγησε τたうοおみくろんνにゅー προσδιοριστή ορισμένων πινάκων τύπου GCD κかっぱαあるふぁιいおた LCM. Οおみくろん Σしぐまμみゅーιいおたθしーた έδειξε μεταξύ άλλων ότι ηいーた ορίζουσα τたうοおみくろんυうぷしろん $n\times n$ πίνακα $(\gcd(i,j))$ is $\phi (1)\phi (2)\cdots \phi (n)$, όπου $\phi$ είναι ηいーた συνάρτηση ολικού συντελεστή τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ.

Εικασία Μπουρκ - Λάι

Οおみくろんιいおた Μπουρκ & Λάι (1992) υπέθεσαν ότι οおみくろん LCM πίνακας σしぐまεいぷしろん ένα GCD-κλειστό σύνολο $S$ είναι μみゅーηいーた-συνεκτικός. Ηいーた εικασία αυτή αποδείχθηκε λανθασμένη από τους Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997) κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた συνέχεια από τたうοおみくろんνにゅー Χかいοおみくろんνにゅーγがんまκかっぱ (Hong (1999). Μみゅーιいおたαあるふぁ θεωρητική προσέγγιση μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん πλέγμα παρέχεται από τους Κόρκε, Ματίλα & Χαουκκάνεν (Korkee, Mattila & Haukkanen (2019).

Τたうοおみくろん αντιπαράδειγμα πぱいοおみくろんυうぷしろん παρουσιάζεται σしぐまτたうοおみくろん Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997) είναι $S=\{1,2,3,4,5,6,10,45,180\}$ κかっぱαあるふぁιいおた αυτό σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Χかいοおみくろんνにゅーγがんまκかっぱ (Hong (1999) είναι $S=\{1,2,3,5,36,230,825,227700\}.$ Ένα αντιπαράδειγμα πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από περιττούς αριθμούς είναι $S=\{1,3,5,7,195,291,1407,4025,1020180525\}$. Τたうοおみくろん διάγραμμα Χάσε τたうοおみくろんυうぷしろん παρουσιάζεται σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά παρακάτω.

Οおみくろんιいおた δομές τύπου κύβου αυτών τたうωおめがνにゅー συνόλων σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうηいーた σχέση διαιρετότητας εξηγούνται σしぐまτたうοおみくろん Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Korkee, Mattila & Haukkanen (2019).

Τたうοおみくろん διάγραμμα Χάσε ενός περιττού κλειστού συνόλου GCD τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου οおみくろん πίνακας LCM είναι ιδιάζων

Διαιρετότητα

Έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένα παραγοντικό κλειστό σύνολο. Τότε οおみくろん GCD πίνακας $(S)$ διαιρεί τたうοおみくろんνにゅー LCM πίνακα $[S]$ σしぐまτたうοおみくろん δακτύλιο τたうωおめがνにゅー $n\times n$ πινάκων πάνω στους ακεραίους, δηλαδή υπάρχει ένας ολοκληρωτικός πίνακας $B$ τέτοιος ώστε $[S]=B(S)$, βλέπε Bourque & Ligh (1992). Δεδομένου ότι οおみくろんιいおた πίνακες $(S)$ κかっぱαあるふぁιいおた $[S]$ είναι συμμετρικοί, έχουμε $[S]=(S)B^{T}$. Έτσι, ηいーた διαιρετότητα από τたうαあるふぁ δεξιά συμπίπτει μみゅーεいぷしろん εκείνη από τたうαあるふぁ αριστερά. Μπορούμε επομένως νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιήσουμε τたうοおみくろんνにゅー όρο διαιρετότητα.

Υπάρχει σしぐまτたうηいーた βιβλιογραφία ένας μεγάλος αριθμός γενικεύσεων κかっぱαあるふぁιいおた αναλογιών αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん βασικού αποτελέσματος διαιρετότητας.

Κανόνες πίνακα

Σしぐまτたうηいーた βιβλιογραφία παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα σχετικά μみゅーεいぷしろん τις νόρμες πινάκων πινάκων τύπου GCD. Δύο βασικά αποτελέσματα αφορούν τたうηいーたνにゅー ασυμπτωτική συμπεριφορά της νόρμας $\ell _{p}$ τたうοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろんυうぷしろん πίνακα GCD κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん πίνακα LCM σしぐまεいぷしろん $S=\{1,2,\dots ,n\}$.

Δεδομένου τたうοおみくろんυうぷしろん $p\in \mathbb {N} ^{+}$, ηいーた νόρμα $\ell _{p}$ ενός $n\times n$ πίνακα $A$ ορίζεται ως εξής

$\Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.$

Έστω $S=\{1,2,\dots ,n\}$. If $p\geq 2$, τότε

$\Vert (S)\Vert _{p}=C_{p}^{1/p}n^{1+(1/p)}+O((n^{(1/p)-p}E_{p}(n)),$

όπου

$C_{p}:={\frac {2\zeta (p)-\zeta (p+1)}{(p+1)\zeta (p+1)}}$

κかっぱσしぐまιいおた $E_{p}(x)=x^{p}$ for $p>2$ and $E_{2}(x)=x^{2}\log x$. Επιπλέον, εάν $p\geq 1$, τότε

$\Vert [S]\Vert _{p}=D_{p}^{1/p}n^{2+(2/p)}+O((n^{(2/p)+1}(\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}),$

όπου

$D_{p}:={\frac {\zeta (p+2)}{(p+1)^{2}\zeta (p)}}.$

Παραγοντοποιήσεις

Έστω $f$ μみゅーιいおたαあるふぁ αριθμητική συνάρτηση, κかっぱαあるふぁιいおた έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένα σύνολο διαφορετικών θετικών ακεραίων αριθμών. Τότε οおみくろん πίνακας $(S)_{f}=(f(\gcd(x_{i},x_{j}))$ αναφέρεται ως οおみくろん πίνακας GCD σしぐまτたうοおみくろん $S$ πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー $f$. Οおみくろん LCM πίνακας $[S]_{f}$ σしぐまτたうοおみくろん $S$ πぱいοおみくろんυうぷしろん σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん $f$ ορίζεται αναλογικά. Μπορούμε επίσης νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς $(S)_{f}=f(S)$ κかっぱαあるふぁιいおた $[S]_{f}=f[S]$.

Έστω $S$ ένα κλειστό σύνολο GCD. Τότε

$(S)_{f}=E\Delta E^{T},$

όπου $E$ είναι οおみくろん πίνακας $n\times n$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうηいーた σχέση

$e_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x_{j}\,\mid \,x_{i},\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

κかっぱαあるふぁιいおた $\Delta$ είναι οおみくろん $n\times n$ διαγώνιος πίνακας, τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうαあるふぁ διαγώνια στοιχεία είναι

$\delta _{i}=\sum _{d\mid x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}(f\star \mu )(d).$

Εδώ $\star$ είναι ηいーた συνέλιξη Ντίριχλετ κかっぱαあるふぁιいおた $\mu$ είναι ηいーた συνάρτηση Μπέμπιος (Möbius).

Επιπλέον, αあるふぁνにゅー $f$ είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた πάντα μみゅーηいーた μηδενική, τότε

$[S]_{f}=\Lambda E\Delta ^{\prime }E^{T}\Lambda ,$

όπου $\Lambda$ κかっぱαあるふぁιいおた $\Delta '$ είναι οおみくろんιいおた $n\times n$ διαγώνιοι πίνακες, τたうωおめがνにゅー οποίων τたうαあるふぁ διαγώνια στοιχεία είναι $\lambda _{i}=f(x_{i})$ κかっぱαあるふぁιいおた

$\delta _{i}^{\prime }=\sum _{d\vert x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}({\frac {1}{f}}\star \mu )(d).$

Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん $S$ είναι παραγοντικά κλειστό, τότε $\delta _{i}=(f\star \mu )(x_{i})$ κかっぱαあるふぁιいおた $\delta _{i}^{\prime }=({\frac {1}{f}}\star \mu )(x_{i})$.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Νにゅー. Σしぐま. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Wilson, Robin (2018). Euler's Pioneering Equation: The Most Beautiful Theorem in Mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. MR 3791469. 
• Damask, Jay N. (2004). Polarization Optics in Telecommunications. Springer. ISBN 0-387-22493-9. 
• Goldstein, Dennis· Dekker, Marcel (2003). Polarized Light (2nd έκδοση). Taylor & Francis. ISBN 0-8247-4053-X. 
• Karlsen, Leif (2003). Secrets of the Viking Navigators: How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans. One Earth Press. 
• Hardy, G. H.· Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd έκδοση). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Μετασχηματισμός Λαπλάς
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Matrix Theory: From Generalized Inverses to Jordan Form
• Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
• Structured Matrix Based Methods for Approximate Polynomial GCD