Πολύγωνο

Γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた συνοικία, δείτε: Πολύγωνο (Αθήνα).

Πολύγωνο σしぐまτたうηいーた γεωμετρία είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη. Ένα πολύγωνο μみゅーεいぷしろん νにゅー πλευρές λέγεται ειδικότερα νにゅー-γがんまωおめがνにゅーοおみくろん ή νにゅー-πλευρο. Προφανώς ισχύει νにゅー ≥ 3.

Ορισμοί

Τたうοおみくろん γεωμετρικό σχήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん αποτελείται από ένα πολύγωνο κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ εσωτερικά τたうοおみくろんυうぷしろん σημεία λέγεται πολυγωνικό χωρίο. Ένα πολύγωνο θしーたαあるふぁ λέγεται κυρτό αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん πολυγωνικό χωρίο τたうοおみくろんυうぷしろん είναι κυρτό σύνολο κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーηいーた κυρτό ή κοίλο σしぐまτたうηいーたνにゅー αντίθετη περίπτωση.

Εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου λέμε κάθε κυρτή γωνία πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん πολυγώνου. Εξωτερική γωνία θしーたαあるふぁ λέμε κάθε εφεξής κかっぱαあるふぁιいおた παραπληρωματική μίας εσωτερικής τたうοおみくろんυうぷしろん γωνίας.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん ενώνει δύο μみゅーηいーた διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος τたうοおみくろんυうぷしろん πολυγώνου.

Ιδιότητες

• Τたうοおみくろん πλήθος τたうωおめがνにゅー διαγωνίων ενός νにゅー-γώνου ισούται μみゅーεいぷしろん ${\frac {\nu (\nu -3)}{2}}$.

Οおみくろんιいおた διαγώνιοι ενός νにゅー-γώνου.

Απόδειξη: Γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μετρήσουμε τις διαγωνίους τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅー-γώνου θεωρούμε μία-μία τις κορυφές τたうοおみくろんυうぷしろん κかっぱαあるふぁιいおた μετράμε τたうαあるふぁ νέα ευθύγραμμα τμήματα πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτουν γがんまιいおたαあるふぁ κάθε κορυφή. Από τたうοおみくろん τελικό άθροισμα όλων τたうωおめがνにゅー ευθυγράμμων τμημάτων θしーたαあるふぁ αφαιρέσουμε τたうαあるふぁ νにゅー σしぐまεいぷしろん πλήθος τμήματα πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι οおみくろんιいおた πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん πολυγώνου.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー πρώτη κορυφή δでるたεいぷしろんνにゅー έχουμε κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Σしぐまτたうηいーた δεύτερη κορυφή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα πぱいοおみくろんυうぷしろん ενώνει τたうηいーた δεύτερη μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πρώτη κορυφή. Ηいーた τρίτη κορυφή ενώνεται μみゅーεいぷしろん τις προηγούμενες δύο κかっぱαあるふぁιいおた προκύπτουν δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα. Συνεχίζοντας μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ίδιο τρόπο, σしぐまτたうηいーたνにゅー προσθήκη της τελευταίας κορυφής, της νにゅー-οστής, θしーたαあるふぁ προκύψουν νにゅー - 1 νέα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτή θしーたαあるふぁ ενωθεί μみゅーεいぷしろん όλες τις νにゅー - 1 κορυφές πぱいοおみくろんυうぷしろん προηγήθηκαν.

Ηいーた διαδικασία αυτή σκιαγραφείται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρακάτω πίνακα:

Κορυφές	1	2	3	...	νにゅー - 1	νにゅー
Νέα ευθύγραμμα τμήματα	0	1	2	...	νにゅー - 2	νにゅー - 1

Αυτό πぱいοおみくろんυうぷしろん μας ενδιαφέρει είναι τたうοおみくろん συνολικό πλήθος S τたうωおめがνにゅー ευθυγράμμων τμημάτων. Γράφουμε μみゅーεいぷしろん δύο τρόπους τたうοおみくろん άθροισμα της κάτω γραμμής τたうοおみくろんυうぷしろん πίνακα:

$S=1+2+\cdots +(\nu -2)+(\nu -1)$

$S=(\nu -1)+(\nu -2)+\cdots +2+1$

κかっぱαあるふぁιいおた προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε

$S={\frac {\nu (\nu -1)}{2}}$

Αφαιρώντας τις νにゅー πλευρές έχουμε τελικά

$S-\nu ={\frac {\nu ^{2}-\nu }{2}}-\nu ={\frac {\nu (\nu -3)}{2}}$

• Τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー γωνιών κυρτού νにゅー-γώνου είναι (νにゅー-2)180°.

Απόδειξη: Θεωρούμε πολύγωνο νにゅー γωνιών. Από μία κορυφή τたうοおみくろんυうぷしろん φέρνουμε όλες τις διαγωνίους προς τις άλλες κορυφές. Μみゅーεいぷしろん αυτόν τたうοおみくろんνにゅー τρόπο σχηματίζονται νにゅー-2 τρίγωνα μみゅーεいぷしろん συνολικό άθροισμα γωνιών προφανώς ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー γωνιών τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅー-γώνου, ίσο μみゅーεいぷしろん (νにゅー-2)180°.

• Τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο μみゅーεいぷしろん 360°.

Απόδειξη: Έστω ότι έχουμε ένα νにゅー-γωνο μみゅーεいぷしろん κορυφές 1, 2, …, νにゅー-1, νにゅー. Αあるふぁνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ κάθε κορυφή πάρουμε τたうοおみくろん άθροισμα της εσωτερικής κかっぱαあるふぁιいおた εξωτερικής της γωνίας:

εいぷしろんσしぐま₁ + εいぷしろんξくしー₁ = 180°

$\vdots$

εいぷしろんσしぐま_νにゅー + εいぷしろんξくしー_νにゅー = 180°

κかっぱαあるふぁιいおた αθροίσουμε κατά μέλη, έχουμε:

$\sum _{i=1}^{\nu }(\epsilon \sigma _{i}+\epsilon \xi _{i})=\nu \cdot 180^{o}$

$\sum _{i=1}^{\nu }\epsilon \xi _{i}=\nu 180^{o}-(\nu -2)180^{o}=360^{o}$

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Τετράπλευρο