Συναλλοίωτος μετασχηματισμός

Σしぐまτたうηいーた φυσική, ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός είναι ένας κανόνας πぱいοおみくろんυうぷしろん προσδιορίζει πως συγκεκριμένες γεωμετρικές οντότητες αλλάζουν κάτω από μία αλλαγή βάσης. Συγκεκριμένα, οおみくろん όρος χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ διανύσματα κかっぱαあるふぁιいおた τανυστές. Οおみくろん μετασχηματισμός πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφει τたうαあるふぁ διανύσματα βάσης σしぐまαあるふぁνにゅー ένα γραμμικό συνδυασμό τたうωおめがνにゅー παλιών διανυσμάτων βάσης προσδιορίζεται σしぐまαあるふぁνにゅー ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός. Συμβατικά, οおみくろんιいおた δείκτες πぱいοおみくろんυうぷしろん προσδιορίζουν τたうαあるふぁ διανύσματα βάσης τοποθετούνται σしぐまαあるふぁνにゅー "κάτω δείκτες" κかっぱαあるふぁιいおた έτσι γράφονται όλες οおみくろんιいおた ποσότητες πぱいοおみくろんυうぷしろん μετασχηματίζονται. Οおみくろん αντίστροφος ενός συναλλοίωτου μετασχηματισμού είναι ένας ανταλλοίωτος μετασχηματισμός. Από τたうηいーた στιγμή πぱいοおみくろんυうぷしろん ένα διάνυσμα πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι αναλλοίωτο κάτω από μία αλλαγή βάσης, οおみくろんιいおた συνιστώσες τたうοおみくろんυうぷしろん πρέπει νにゅーαあるふぁ μετασχηματίζονται σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ανταλλοίωτο κανόνα. Συμβατικά, οおみくろんιいおた δείκτες πぱいοおみくろんυうぷしろん προσδιορίζουν τις συνιστώσες ενός διανύσματος τοποθετούνται σしぐまαあるふぁνにゅー "πάνω δείκτες" κかっぱαあるふぁιいおた αυτό ισχύει γがんまιいおたαあるふぁ όλους τους δείκτες ποσοτήτων πぱいοおみくろんυうぷしろん μετασχηματίζονται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ίδιο τρόπο. Τたうοおみくろん άθροισμα ενός γινομένου μみゅーεいぷしろん δείκτες αντιστοιχισμένους ανά ζεύγη κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん ίδιους κάτω κかっぱαあるふぁιいおた πάνω δείκτες είναι αναλλοίωτο κάτω από ένα μετασχηματισμό.

Ένα διάνυσμα είναι μία γεωμετρική ποσότητα, εξαρχής ανεξάρτητο (αναλλοίωτο) της βάσης πぱいοおみくろんυうぷしろん επιλέγεται. Δίνεται ένα διάνυσμα v , έστω μみゅーεいぷしろん συνιστώσες vⁱ σしぐまτたうηいーたνにゅー αρχική βάση e_i. Σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη βάση, έστω e′_j, τたうοおみくろん ίδιο διάνυσμα v έχει διαφορετικές συνιστώσες v′^j κかっぱαあるふぁιいおた:

$\mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.$

Mεいぷしろん τたうοおみくろん v νにゅーαあるふぁ είναι αναλλοίωτο κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた βάση e_i νにゅーαあるふぁ μετασχηματίζεται συναλλοίωτα, πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι τέτοιο ώστε τたうοおみくろん vⁱ (τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん προσδιορίζουν τις συνιστώσες) νにゅーαあるふぁ μετασχηματίζεται μみゅーεいぷしろん διαφορετικό τρόπο, δηλαδή τたうοおみくろんνにゅー αντίστροφο πぱいοおみくろんυうぷしろん λέγετα ανταλλοίωτος κανόνας μετασχηματισμού.

Aνにゅー γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー δισδιάστατο ευκλείδιο χώρο, τたうαあるふぁ νέα διανύσματα βάσης περιστρέφονται αριστερόστροφα σしぐまεいぷしろん σχέση μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ παλιά διανύσματα βάσης, τότε θしーたαあるふぁ φαίνεται σしぐまεいぷしろん όρους τたうοおみくろんυうぷしろん νέου συστήματος ηいーた "αναπαράσταση ως προς τις συνιστώσες" σしぐまαあるふぁνにゅー τたうοおみくろん διάνυσμα νにゅーαあるふぁ έστρεψε σしぐまτたうηいーたνにゅー αντίθετη φορά, δηλαδή δεξιόστροφα.

• 
  Ένα διάνυσμα v κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ τοπικά διανύσματα βάσης {e_x,e_y} κかっぱαあるふぁιいおた {e_r,e_φふぁい}. Μみゅーεいぷしろん Μαύρο τたうοおみくろん παλιό σύστημα κかっぱαあるふぁιいおた κόκκινο τたうοおみくろん νέο.
• 
  Αναπαράσταση συντεταγμένων τたうοおみくろんυうぷしろん v μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ διανύσματα βάσης νにゅーαあるふぁ ταυτίζονται.