Σύστημα Λόρεντζ

Τたうοおみくろん Σύστημα Λόρεντζ^[1] είναι μみゅーιいおたαあるふぁ μορφοκλασματική δομή πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーた μακροχρόνια συμπεριφορά τたうοおみくろんυうぷしろん ταλαντωτή Λόρεντζ. Οおみくろん ελκυστής δείχνει πώς οおみくろんιいおた διάφορες μεταβλητές τたうοおみくろんυうぷしろん δυναμικού συστήματος εξελίσσονται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πάροδο τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μみゅーηいーた περιοδική τροχιά.

Τたうοおみくろん 1963, οおみくろん μετεωρολόγος Έντουαρντ Λόρεντζ ήταν οおみくろん πρώτος πぱいοおみくろんυうぷしろん τόνισε τたうηいーたνにゅー πιθανή χαοτική φύση της μετεωρολογίας. Τたうοおみくろん μοντέλο Λόρεντζ, επίσης γνωστό ως δυναμικό σύστημα Λόρεντζ ή ταλαντωτής Λόρεντζ, είναι ένα απλουστευμένο πρότυπο τたうωおめがνにゅー μετεωρολογικών φαινομένων πぱいοおみくろんυうぷしろん βασίζεται σしぐまτたうηいーた ρευστομηχανική. Τたうοおみくろん μοντέλο αυτό είναι ένα τρισδιάστατο δυναμικό σύστημα πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγει χαοτική συμπεριφορά υπό ορισμένες συνθήκες.

Τたうοおみくろん πρότυπο τたうοおみくろんυうぷしろん Λόρεντζ είχε σημαντικό αντίκτυπο σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάδειξη τたうωおめがνにゅー πιθανών ορίων της ικανότητας πρόβλεψης της μακροπρόθεσμης κλιματικής κかっぱαあるふぁιいおた μετεωρολογικής εξέλιξης. Αποτελεί σημαντικό στοιχείο της θεωρίας ότι ηいーた ατμόσφαιρα τたうωおめがνにゅー πλανητών κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー αστέρων μπορούν νにゅーαあるふぁ περιλαμβάνουν μみゅーιいおたαあるふぁ μεγάλη ποικιλία οιονεί περιοδικών καθεστώτων κかっぱαあるふぁιいおた υπόκεινται σしぐまεいぷしろん απότομες κかっぱαあるふぁιいおた φαινομενικά τυχαίες μεταβολές. Αποτελεί επίσης ένα χρήσιμο παράδειγμα σしぐまτたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー δυναμικών συστημάτων, χρησιμεύοντας ως πηγή νέων μαθηματικών εννοιών^[2].

Πρότυπο Λόρεντζ

Οおみくろん ελκυστής κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた σχετικές εξισώσεις δημοσιοποιήθηκαν τたうοおみくろん 1963 από τたうοおみくろんνにゅー Έντουαρντ Λόρεντζ.^[3]

Από μαθηματική άποψη, ηいーた σύζευξη της γήινης ατμόσφαιρας μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー ωκεανό περιγράφεται από τたうοおみくろん σύστημα συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων Ναβιέρ-Στόκες της ρευστομηχανικής. Αυτό τたうοおみくろん σύστημα εξισώσεων ήταν πολύ περίπλοκο γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ επιλυθεί αριθμητικά μみゅーεいぷしろん τους υπολογιστές πぱいοおみくろんυうぷしろん υπήρχαν τたうηいーたνにゅー εποχή τたうοおみくろんυうぷしろん Λόρεντζ. Έτσι, οおみくろん Λόρεντζ είχε τたうηいーたνにゅー ιδέα νにゅーαあるふぁ αναζητήσει ένα εξαιρετικά απλουστευμένο πρότυπο αυτών τたうωおめがνにゅー εξισώσεων γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた μελέτη μιας συγκεκριμένης φυσικής κατάστασης: τたうοおみくろんυうぷしろん φαινομένου της συναγωγής Ρέιλεϊ-Μπενάρ. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα ήταν ένα δυναμικό διαφορικό σύστημα μみゅーεいぷしろん τρεις μόνο βαθμούς ελευθερίας, τたうοおみくろん οποίο ήταν πολύ πぱいιいおたοおみくろん απλό νにゅーαあるふぁ ολοκληρωθεί αριθμητικά από τις αρχικές εξισώσεις.

Δυναμικό διαφορικό σύστημα Λόρεντζ

Αυτό τたうοおみくろん διαφορικό σύστημα γράφεται ως εξής^[4]:

{\begin{cases}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma \left[y(t)-x(t)\right]\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}

όπου $σ しぐま$ , $ρ ろー$ κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ είναι τρεις αυστηρά θετικές, σταθερές παράμετροι. Δεδομένου ότι τたうοおみくろん σύστημα προκύπτει από τたうηいーたνにゅー απλοποίηση τたうωおめがνにゅー εξισώσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん διέπουν τたうηいーた συναγωγή Rayleigh-Mπενάρ, οおみくろんιいおた παράμετροι ονομάζονται από τたうηいーた φυσική τους προέλευση: $σ しぐま$ είναι οおみくろん αριθμός Prandtl^[5], κかっぱαあるふぁιいおた $ρ ろー$ , πぱいοおみくろんυうぷしろん καταχρηστικά αναφέρεται ως "αριθμός Rayleigh"^[6], είναι σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα οおみくろん λόγος τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμός Rayleigh Ra προς τたうοおみくろんνにゅー κρίσιμο αριθμό Rayleigh^[6] Ra_c (Ra_c είναι ηいーた τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん Ra πάνω από τたうηいーたνにゅー οποία τたうοおみくろん φυσικό σύστημα δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ παραμείνει αναλλοίωτο μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー πάροδο τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου, όπου επομένως υπόκειται σしぐまεいぷしろん κινήσεις συναγωγής).

Οおみくろんιいおた δυναμικές μεταβλητές $x$ , $y$ κかっぱαあるふぁιいおた $z$ αντιπροσωπεύουν τたうηいーたνにゅー κατάσταση τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος σしぐまεいぷしろん κάθε χρονική στιγμή. Ηいーた φυσική εいぷしろんρろーµηνεία είναι ηいーた εξής: $x (t)$ είναι ανάλογη της έντασης της κίνησης συναγωγής, $y (t)$ είναι ανάλογη της διαφοράς θしーたεいぷしろんρろーµοκρασίας µεταξύ τたうωおめがνにゅー ανοδικών κかっぱαあるふぁιいおた καθοδικών ρろーεいぷしろんυうぷしろんµάτων κかっぱαあるふぁιいおた $z (t)$ είναι ανάλογη της απόκλισης τたうοおみくろんυうぷしろん κατακόρυφου προφίλ θしーたεいぷしろんρろーµοκρασίας από ένα γがんまρろーαあるふぁµµικό προφίλ^[7]..

Συχνά υποθέτουμε $σ しぐま$ = 10 κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ = 8/3, μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん ρろー νにゅーαあるふぁ παραμένει μεταβλητό. Τたうοおみくろん σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά γがんまιいおたαあるふぁ $ρ ろー$ = 28, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα σしぐまτたうοおみくろん ψευδο-περιοδικό καθεστώς (της τάξης τたうωおめがνにゅー 30 δευτερολέπτων). Οおみくろん χρόνος αυτός εξαρτάται από τたうοおみくろん $ρ ろー$ : μπορεί νにゅーαあるふぁ φτάσει τたうαあるふぁ 180 δευτερόλεπτα γがんまιいおたαあるふぁ $ρ ろー$ = 24,3. Τたうοおみくろん κατώφλι γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εγκαθίδρυση τたうοおみくろんυうぷしろん χαοτικού καθεστώτος είναι μεταξύ 24,29 και 24,30 γがんまιいおたαあるふぁ αυτές τις τιμές $σ しぐま$ κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ ^[8].

Σημεία ισορροπίας

Τたうαあるふぁ σημεία ισορροπίας ή σταθερά σημεία τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος είναι οおみくろんιいおた σταθερές (x,y,z) λύσεις τたうοおみくろんυうぷしろん διαφορικού συστήματος. Υπάρχουν ένα ή τρία τέτοια σημεία:

τたうοおみくろん σταθερό σημείο (0, 0, 0) υπάρχει ανεξάρτητα από τις τιμές τたうωおめがνにゅー πραγματικών παραμέτρων $σ しぐま$ , $ρ ろー$ κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ . Είναι σταθερό όταν $\rho <1$ (σύγκλιση σしぐまτたうηいーたνにゅー κατάσταση ηρεμίας, χωρίς συναγωγή), ασταθές διαφορετικά (συναγωγή) ,
τたうαあるふぁ δύο συμμετρικά σταθερά σημεία $\left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ κかっぱαあるふぁιいおた $\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ υπάρχουν μόνο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー $\rho \geq 1$ . Ανάλογα μみゅーεいぷしろん τις τιμές τたうωおめがνにゅー $σ しぐま$ κかっぱαあるふぁιいおた $ρ ろー$ , είναι σταθερές (σταθερή συναγωγή) ή ασταθείς (περιοδικά κυμαινόμενη συναγωγή ή χαοτική).

Περιγραφή

Απορρόφηση 25.000 σημείων από έναν ελκυστή Λόρεντζ.

Οおみくろん ελκυστής Λόρεντζ ορίζεται ως τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μακροχρόνιων τροχιών τたうοおみくろんυうぷしろん παραπάνω δυναμικού συστήματος Λόρεντζ.

Πράγματι, όταν οおみくろんιいおた παράμετροι $σ しぐま$ , $ρ ろー$ κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ παίρνουν τις ακόλουθες τιμές: $σ しぐま$ = 10, $ρ ろー$ = 28 κかっぱαあるふぁιいおた $β べーた$ = 8/3, τたうοおみくろん διαφορικό δυναμικό σύστημα Λόρεντζ παρουσιάζει έναν παράξενο ελκυστή μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μορφή φτερών πεταλούδας, πぱいοおみくろんυうぷしろん απεικονίζεται σしぐまτたうοおみくろん διπλανό σχήμα.

Γがんまιいおたαあるふぁ σχεδόν όλες τις αρχικές συνθήκες (εκτός από εκείνες γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ σταθερά σημεία), ηいーた τροχιά τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος πλησιάζει γρήγορα τたうοおみくろんνにゅー ελκυστή, μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー περιφορά της τροχιάς αρχικά νにゅーαあるふぁ τυλίγεται γύρω από τたうηいーた μία πτέρυγα, σしぐまτたうηいーた συνέχεια νにゅーαあるふぁ πηδά από τたうηいーた μία πτέρυγα σしぐまτたうηいーたνにゅー άλλη γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αρχίσει νにゅーαあるふぁ τυλίγεται γύρω από τたうηいーたνにゅー άλλη πτέρυγα, κかっぱαあるふぁιいおた ούτω καθεξής, μみゅーεいぷしろん έναν προφανώς ακανόνιστο τρόπο.

Ηいーた ύπαρξη ενός παράξενου ελκυστή γがんまιいおたαあるふぁ ορισμένες τιμές παραμέτρων είχε πιθανολογηθεί από τたうοおみくろんνにゅー Έντουαρντ Λόρεντζ ήδη από τたうοおみくろん 1963 βάσει αριθμητικών προσομοιώσεων. Ωστόσο, έπρεπε νにゅーαあるふぁ περιμένουμε μέχρι τたうοおみくろん 2001 για μみゅーιいおたαあるふぁ αυστηρή απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん γεγονότος αυτού από τたうοおみくろんνにゅー Ουόρικ Τάκερ^[9].

Σしぐまεいぷしろん αυτές τις περιπτώσεις, οおみくろん ελκυστής είναι ένα φράκταλ μみゅーεいぷしろん διάσταση Χάουστορφ μεταξύ 2 και 3.^[10]

$ρ ろー$ = 28, $σ しぐま$ = 10, $β べーた$ = 8/3
$ρ ろー$ = 28
$ρ ろー$ = 15
Κινούμενη εικόνα τたうοおみくろんυうぷしろん $ρ ろー$ = 0 ως 28

Παραλλαγές

Προκειμένου νにゅーαあるふぁ μελετηθεί μαθηματικά οおみくろん ελκυστής Λόρεντζ, εμφανίστηκαν σしぐまτたうηいーたνにゅー επιστημονική βιβλιογραφία αυστηρά αλλά διακριτά πρότυπα ^[11]. Τたうοおみくろん κύριο πλεονέκτημά τους ήταν ότι ήταν ευκολότερο νにゅーαあるふぁ μελετηθούν κかっぱαあるふぁιいおた, κυρίως, ότι μπορούσαμε νにゅーαあるふぁ είμαστε σίγουροι γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ύπαρξή τους (αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー γνωρίζαμε αあるふぁνにゅー οおみくろん ελκυστής Λόρεντζ περιγράφεται σωστά από αυτά τたうαあるふぁ πρότυπα, βべーたλらむだ. παραπάνω).

Ανάλυση

Προσομοίωση σしぐまτたうοおみくろん Julia

using Plots
# define the Lorenz attractor
@kwdef mutable struct Lorenz
    dt::Float64 = 0.02
    σしぐま::Float64 = 10
    ρろー::Float64 = 28
    βべーた::Float64 = 8/3
    x::Float64 = 2
    y::Float64 = 1
    z::Float64 = 1
end

function step!(l::Lorenz)
    dx = l.σしぐま * (l.y - l.x);         l.x += l.dt * dx
    dy = l.x * (l.ρろー - l.z) - l.y;   l.y += l.dt * dy
    dz = l.x * l.y - l.βべーた * l.z;     l.z += l.dt * dz
end

attractor = Lorenz()

# initialize a 3D plot with 1 empty series
plt = plot3d(
    1,
    xlim = (-30, 30),
    ylim = (-30, 30),
    zlim = (0, 60),
    title = "Lorenz Attractor",
    marker = 2,
)

# build an animated gif by pushing new points to the plot, saving every 10th frame
@gif for i=1:1500
    step!(attractor)
    push!(plt, attractor.x, attractor.y, attractor.z)
end every 10

Προσομοίωση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん MATLAB

% Resolver para el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]
% ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales
% ''a'' es un arreglo que contiene variables x, y, z
% ''t'' es la variable de tiempo

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);     % Solución de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

Προσομοίωση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0
sigma = 10.0
beta = 8.0 / 3.0

def f(state, t):
    x, y, z = state  # Desempaqueta el vector de estado
    return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivadas

state0 = [1.0, 1.0, 1.0]
t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)

states = odeint(f, state0, t)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2])
plt.show()

Βιβλιογραφία

G.A. Leonov; N.V. Kuznetsov (2015). «On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems». Applied Mathematics and Computation 256: 334–343. doi:10.1016/j.amc.2014.12.132. Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2017-08-08. https://web.archive.org/web/20170808165508/http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/LN2015.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-12-14.
Pchelintsev, A.N. (2022). «On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type». Mathematics 10 (8): 1207. doi:10.3390/math10081207. https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf.

Δημοσιεύσεις

Bergé, Pierre· Pomeau, Yves· Vidal, Christian (1984). Order within Chaos: Towards a Deterministic Approach to Turbulence. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-84967-4.
Cuomo, Kevin M.; Oppenheim, Alan V. (1993). «Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications». Physical Review Letters 71 (1): 65–68. doi:10.1103/PhysRevLett.71.65. ISSN 0031-9007. PMID 10054374. Bibcode: 1993PhRvL..71...65C.
Gorman, M.; Widmann, P.J.; Robbins, K.A. (1986). «Nonlinear dynamics of a convection loop: A quantitative comparison of experiment with theory». Physica D 19 (2): 255–267. doi:10.1016/0167-2789(86)90022-9. Bibcode: 1986PhyD...19..255G.
Grassberger, P.; Procaccia, I. (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D 9 (1–2): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. Bibcode: 1983PhyD....9..189G.
Haken, H. (1975). «Analogy between higher instabilities in fluids and lasers». :Physics Letters A 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9. Bibcode: 1975PhLA...53...77H.
Hemati, N. (1994). «Strange attractors in brushless DC motors». IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 41 (1): 40–45. doi:10.1109/81.260218. ISSN 1057-7122.
Hilborn, Robert C. (2000). Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers (second έκδοση). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850723-9.
Hirsch, Morris W.· Smale, Stephen· Devaney, Robert (2003). Differential Equations, Dynamical Systems, & An Introduction to Chaos (Second έκδοση). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-349703-1.
Knobloch, Edgar (1981). «Chaos in the segmented disc dynamo». Physics Letters A 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7. Bibcode: 1981PhLA...82..439K.
Kolář, Miroslav; Gumbs, Godfrey (1992). «Theory for the experimental observation of chaos in a rotating waterwheel». Physical Review A 45 (2): 626–637. doi:10.1103/PhysRevA.45.626. PMID 9907027. Bibcode: 1992PhRvA..45..626K.
Leonov, G.A.; Kuznetsov, N.V.; Korzhemanova, N.A.; Kusakin, D.V. (2016). «Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 41: 84–103. doi:10.1016/j.cnsns.2016.04.032. Bibcode: 2016CNSNS..41...84L.
Lorenz, Edward Norton (1963). «Deterministic nonperiodic flow». Journal of the Atmospheric Sciences 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. Bibcode: 1963JAtS...20..130L.
Mishra, Aashwin; Sanghi, Sanjeev (2006). «A study of the asymmetric Malkus waterwheel: The biased Lorenz equations». Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 16 (1): 013114. doi:10.1063/1.2154792. PMID 16599745. Bibcode: 2006Chaos..16a3114M.
Pchelintsev, A.N. (2014). «Numerical and Physical Modeling of the Dynamics of the Lorenz System». Numerical Analysis and Applications 7 (2): 159–167. doi:10.1134/S1995423914020098.
Poland, Douglas (1993). «Cooperative catalysis and chemical chaos: a chemical model for the Lorenz equations». Physica D 65 (1): 86–99. doi:10.1016/0167-2789(93)90006-M. Bibcode: 1993PhyD...65...86P.
Saltzman, Barry (1962). «Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem—I». Journal of the Atmospheric Sciences 19 (4): 329–341. doi:10.1175/1520-0469(1962)019<0329:FAFCAA>2.0.CO;2. Bibcode: 1962JAtS...19..329S.
Shen, B.-W. (2015-12-21). "Nonlinear feedback in a six-dimensional Lorenz model: impact of an additional heating term". Nonlinear Processes in Geophysics. 22 (6): 749–764. doi:10.5194/npg-22-749-2015. ISSN 1607-7946.
Sparrow, Colin (1982). The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer.
Tucker, Warwick (2002). «A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem». Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53–117. doi:10.1007/s002080010018. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s002080010018.pdf.
Tzenov, Stephan (2014). «Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability». arXiv:1406.0979v1 [physics.flu-dyn].

Viana, Marcelo (2000). «What's new on Lorenz strange attractors?». The Mathematical Intelligencer 22 (3): 6–19. doi:10.1007/BF03025276. https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_summer-2000_22_3/page/6.
Lorenz, Edward N. (1960). «The statistical prediction of solutions of dynamic equations.». Symposium on Numerical Weather Prediction in Tokyo. Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2019-05-23. https://web.archive.org/web/20190523190103/http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/The_Statistical_Prediction_of_Solutions_1962.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-12-14.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ «Σύστημα Lorenz». www.hellenicaworld.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.
↑ «L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos - Séminaire Poincaré - CNRS» (PDF).
↑ Gulick, Denny (26 Απριλίου 2012). Encounters with Chaos and Fractals. CRC Press. ISBN 978-1-4665-5875-5.
↑ Magnit?ski?, Nikola? Aleksandrovich· Sidorov, Sergey Vasilevich (2006). New Methods for Chaotic Dynamics. World Scientific. ISBN 978-981-256-817-5.
↑ «Prandtl Number - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.
↑ ^6,0 ^6,1 «Rayleigh Number - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.
↑ Tels que définis dans Lorenz 1963, σしぐまεいぷしろんλらむだ. 135.
↑ La valeur du seuil peut dépendre des paramètres de résolution numérique du système.
↑ «A Rigorous ODE solver and Smale's 14th Problem». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 14 Δεκεμβρίου 2023.
↑ Grassberger, Peter; Procaccia, Itamar (1983-10-01). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D: Nonlinear Phenomena 9 (1): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. ISSN 0167-2789. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167278983902981.
↑ J. Guckenheimer et R. F. Williams, « Structural stability of Lorenz attractors », Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50,‎ 1979, p. 59-72.

[1] «Σύστημα Lorenz». www.hellenicaworld.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.

[2] «L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos - Séminaire Poincaré - CNRS» (PDF).

[3] Gulick, Denny (26 Απριλίου 2012). Encounters with Chaos and Fractals. CRC Press. ISBN 978-1-4665-5875-5.

[4] Magnit?ski?, Nikola? Aleksandrovich· Sidorov, Sergey Vasilevich (2006). New Methods for Chaotic Dynamics. World Scientific. ISBN 978-981-256-817-5.

[5] «Prandtl Number - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.

[:0-6] 6,0 ^6,1 «Rayleigh Number - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 13 Δεκεμβρίου 2023.

[7] Tels que définis dans Lorenz 1963, σしぐまεいぷしろんλらむだ. 135.

[8] La valeur du seuil peut dépendre des paramètres de résolution numérique du système.

[9] «A Rigorous ODE solver and Smale's 14th Problem». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 14 Δεκεμβρίου 2023.

[10] Grassberger, Peter; Procaccia, Itamar (1983-10-01). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D: Nonlinear Phenomena 9 (1): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. ISSN 0167-2789. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167278983902981.

[11] J. Guckenheimer et R. F. Williams, « Structural stability of Lorenz attractors », Inst. Hautes études Sci. Publ. Math., vol. 50,‎ 1979, p. 59-72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]