Funkcio de Bessel

En matematiko, funkcioj de Bessel, unue difinitaj de Daniel Bernoulli kaj ĝeneraligitaj de Friedrich Bessel, estas kanonaj solvaĵoj y(x) de diferenciala ekvacio de Bessel

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

por ajna reela aŭ kompleksa nombro αあるふぁ kiu (la ordo de la funkcio de Bessel); la plej komunaj kaj gravaj okazoj estas por αあるふぁ kiu estas entjero aŭ duono-entjero.

Kvankam αあるふぁ kaj -αあるふぁ produktas la saman diferencialan ekvacio, estas kutime difini malsamajn funkciojn de Bessel por ĉi tiuj du ordoj (ekzemple, por ke la funkcioj de Bessel estu plejparte glataj funkcioj de αあるふぁ). Funkcioj de Bessel estas ankaŭ sciata kiel cilindraj funkcioj aŭ cilindraj harmonoj ĉar ili estas trovataj en la solvaĵo al laplaca ekvacio en cilindraj koordinatoj.

Aplikoj de funkcio de Bessel

Ekvacio de Bessel ekestas kiam trovanta apartigeblaj solvaĵoj al laplaca ekvacio kaj la ekvacio de Helmholtz en cilindraj aŭ sferaj koordinatoj. Funkcioj de Bessel estas pro tio aparte grava por multaj problemoj de onda disvastigo kaj statika potencialoj. En solvanado problemoj en cilindraj koordinataj sistemoj, oni ricevas funkciojn de Bessel de entjero ordo (αあるふぁ = n); en sferaj problemoj, oni ricevas duono-entjerajn ordojn (αあるふぁ = n + 1/2). Ekzemple:

• Elektromagnetaj ondoj en cilindra ondokonduktilo;
• Varma kondukteco en cilindra objekto;
• Reĝimoj de vibrado de maldika cirkla (aŭ ringoforma) membrano (kiel tamburo aŭ alia membranofono);
• Difuzaj problemoj sur krado;
• Solvaĵoj al la radiusa ekvacio de Schrödinger (en sferaj kaj cilindraj koordinatoj) por libera partiklo;
• Solvado por ŝablonoj de akustika radiado.

Funkcioj de Bessel ankaŭ havas utilajn propraĵojn por aliaj problemoj, kiel signal-prilaborado (ekzemple, fenestro de Kaiser kaj filtrilo de Bessel).

Difinoj

Pro tio ke ĉi tiu estas dua-orda diferenciala ekvacio, tie devas esti du lineare sendependaj solvaĵoj. Dependante sur la situacio, tamen, diversaj formulaĵoj de ĉi tiuj solvaĵoj estas oportunaj, kaj la malsamaj variadoj estas priskribitaj pli sube.

Funkcioj de Bessel de la unua speco J_{αあるふぁ}

Grafikaĵo de funkcioj de Bessel de la unua speco, J_{αあるふぁ}(x), por entjeraj ordoj αあるふぁ = 0, 1, 2

Funkcioj de Bessel de la unua speco, signifitaj kiel J_{αあるふぁ}(x), estas solvaĵoj de diferenciala ekvacio de Bessel kiuj estas finia je la fonto (x=0) por entjero αあるふぁ, kaj malkonverĝas kiam x proksimiĝas al 0 por negativa ne-entjera αあるふぁ. La solvaĵa speco kaj normaligo de J_{αあるふぁ}(x) estas difinitaj per ĝiaj propraĵoj pli sube. Eblas difini la funkcion per ĝia elvolvaĵo ĉirkaŭ x=0 per serio de Taylor:

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\tfrac {1}{2}}x\right)}^{2m+\alpha }$

kie Γがんま(z) estas la Γがんま-funkcio (bazita sur ĝeneraligo de la faktoriala funkcio al ne-entjeraj valoroj). La grafikaĵoj de funkcioj de Bessel aspektas proksimume kiel oscilanta sinusa aŭ kosinusa funkcioj kiu malpligrandiĝas proporcie al 1/√x (vidu ankaŭ iliajn asimptotajn formojn pli sube), kvankam iliaj radikoj estas ĝenerale ne perioda, escepti asimptote por granda x. La serio de Taylor indikas ke -J₁(x) estas la derivaĵo de J₀(x), simile al tio ke -sin(x) estas la derivaĵo de cos(x); pli ĝenerale, la derivaĵo de J_n(x) povas esti esprimita per J_n±1(x) per la identoj donitaj pli sube.

Por ne-entjera αあるふぁ, la funkcioj J_{αあるふぁ}(x) kaj J_{-αあるふぁ}(x) estas lineare sendependaj, kaj estas pro tio la du solvaĵoj de la diferenciala ekvacio. Aliflanke, por entjera orda n, jena interrilato estas valida (notu ke la Γがんま-funkcio iĝas malfinion por negativaj entjeraj argumentoj):

$J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)$

Ĉi tio signifas ke la du solvaĵoj estas jam ne lineare sendependaj. En ĉi tiu okazo, la dua lineare sendependa solvaĵo estas la funkcio de Bessel de la dua speco, kiel diskutita pli sube.

Integraloj de Bessel

Alia difino de la funkcio de Bessel, por entjeraj valoroj de n, estas ebla per integrala prezento

$J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau$

Alia integrala prezento estas

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin(\tau ))}\,d\tau$

Ĉi tiu estis la maniero kiun Bessel uzis, kaj de ĉi tiu difino li derivis kelkajn propraĵojn de la funkcio. La difino povas esti etendita al ne-entjeraj ordoj per adicio de la alia flanko

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin(\tau ))\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt$

aŭ por αあるふぁ>-1/2 per

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2^{\alpha -1}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}\,x^{\alpha }}}\int _{0}^{x}(x^{2}-\tau ^{2})^{\alpha -1/2}\cos \tau \,d\tau$

Rilato al hipergeometria serio

La funkcioj de Bessel povas esti esprimitaj per la ĝeneraligita hipergeometria serio kiel

$J_{\alpha }(x)={\frac {(x/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2})$

Ĉi tiu esprimo estas rilatanta al la evoluo de funkcioj de Bessel per la funkcio de Bessel-Clifford.

Rilato al polinomoj de Laguerre

Per la polinomoj de Laguerre L_k kaj arbitre elektita parametro t, la funkcio de Bessel povas esti esprimita kiel

${\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{k+\alpha \choose k}}{\frac {t^{k}}{k!}}$

Funkcioj de Bessel de la dua speco Y_{αあるふぁ}

Grafika prezento de funkcio de Bessel de la dua speco, Y_{αあるふぁ}(x), por entjeraj ordoj αあるふぁ = 0, 1, 2.

La funkcioj de Bessel de la dua speco, signifitaj per Y_{αあるふぁ}(x), estas solvaĵoj de la diferenciala ekvacio de Bessel. Ili havas specialaĵon je la fonto (x=0).

Y_{αあるふぁ}(x) estas iam ankaŭ nomata kiel la funkcio de Neumann, kaj estas foje signifita anstataŭe per N_{αあるふぁ}(x). Por ne-entjera αあるふぁ, ĝi estas rilatanta al J_{αあるふぁ}(x) per:

$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}$

Ĉe entjera ordo n, la funkcio estas difinita per preno de la limeso kiam ne-entjera αあるふぁ strebas al n:

$Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x)$

kiu havas la rezulton (en integrala formo)

$Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt$

Y_{αあるふぁ}(x) estas necesa kiel la dua lineare sendependa solvaĵo de la ekvacio de Bessel se αあるふぁ estas entjero. Sed Y_{αあるふぁ}(x) havas plian signifon ol ĉu tiu. Ĝi povas esti konsiderata kiel natura asociano de J_{αあるふぁ}(x). Vidu ankaŭ la subĉapitron pri funkcioj de Hankel pli sube.

Se αあるふぁ estas entjero, ankaŭ, kiel estas simile en la okazo por la funkcioj de la unua speco, jena interrilato estas valida:

$Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x)$

Ambaŭ J_{αあるふぁ}(x) kaj Y_{αあるふぁ}(x) estas holomorfaj funkcioj de x sur la kompleksa ebeno kun tranĉo laŭ la negativa reela duonakso. Se αあるふぁ estas entjero, do la funkcioj de Bessel J estas tutaj funkcioj de x. Se x estas tenita fiksita, do la funkcioj de Bessel estas tutaj funkcioj de αあるふぁ.

Funkcioj de Hankel H_{αあるふぁ}⁽¹⁾, H_{αあるふぁ}⁽²⁾

Alia grava formulaĵo de la du lineare sendependaj solvaĵoj al ekvacio de Bessel estas la funkcioj de Hankel H_{αあるふぁ}⁽¹⁾(x) kaj H_{αあるふぁ}⁽²⁾(x), difinitaj kiel

$H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)$

kie i estas la imaginara unuo. Ĉi tiuj linearaj kombinaĵoj estas ankaŭ sciata kiel funkcioj de Bessel de la tria speco; ili estas du lineare sendependaj solvaĵoj de diferenciala ekvacio de Bessel. Ili estas nomitaj post Hermann Hankel.

La graveco de funkcioj de Hankel de la unua kaj dua speco kuŝas pli en teoria evoluo anstataŭ en apliko. Ĉi tiuj formoj de lineara kombinaĵo kontentigas multajn simple aspektantajn propraĵojn, simile al asimptotaj formuloj aŭ integralaj prezentoj. Ĉi tie, 'simpla' signifas aspekton de la faktoro de formo e^if(x). La funkcio de Bessel de la dua speco tiam povas esti konsiderata kiel nature aperanta kiel la imaginara parto de la funkcioj de Hankel.

La funkcioj de Hankel estas uzitaj por esprimi eksteren kaj enen propagantajn cilindrajn ondajn solvaĵojn de la cilindra onda ekvacio, respektive (aŭ male, dependanta de la signa konvencio por la frekvenco).

Uzante la antaŭajn interrilatojn ili povas esti esprimitaj kiel

$H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}$

se αあるふぁ estas entjero, la limeso devas esti kalkulita. Jenaj interrilatoj estas validaj, sendepende de tio ĉu αあるふぁ estas entjero aŭ ne:

$H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)$

$H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x)$

La funkcioj de Hankel kontentigas jenajn integralajn prezentojn (utila en la kalkulo de la propagilo de la kampo de Klein-Gordon )

$H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\alpha \pi i}}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{ix\cosh t-\alpha t}\,dt$

$H_{\alpha }^{(2)}(x)=-{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\alpha \pi i}}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ix\cosh t-\alpha t}\,dt$

Modifitaj funkcioj de Bessel I_{αあるふぁ}, K_{αあるふぁ}

Modifitaj funkcioj de Bessel de 1-a speco I_{αあるふぁ}(x) por αあるふぁ = 0, 1, 2, 3

Modifitaj funkcioj de Bessel de 2-a speco K_{αあるふぁ}(x) por αあるふぁ = 0, 1, 2, 3

La funkcioj de Bessel estas valida eĉ por kompleksaj argumentoj x, kaj grava speciala okazo estas tiu de pure imaginara argumento. En ĉi tiu okazo, la solvaĵoj al la ekvacio de Bessel estas nomataj kiel la modifitaj funkcioj de Bessel aŭ hiperbolaj funkcioj de Bessel de la unua kaj dua speco, kaj estas difinita per iu el ĉi tiuj ekvivalentaj alternativoj:

$I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }$

$K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)=-{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}e^{-i\pi \alpha }H_{\alpha }^{(2)}(-ix)$

Ekzistas multaj integralaj prezentoj de ĉi tiuj funkcioj. Jena por K_{αあるふぁ}(x), estas utila por la kalkulo de la propagilo de Feynman en kampa teorio:

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}\alpha \pi i}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ix\sinh t-\alpha t}\,dt$

Ĉi tiuj estas elektitaj al esti reelo-valoraj por reelaj pozitivaj argumentoj x. La seria elvolvaĵo por I_{αあるふぁ}(x) estas tial simila al tiu por J_{αあるふぁ}(x), sed sen la alterna (-1)^m faktoro.

I_{αあるふぁ}(x) kaj K_{αあるふぁ}(x) estas la du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0$

Malsimile al la ordinaraj funkcioj de Bessel, kiuj estas oscilantaj kiel funkcioj de reela argumento, I_{αあるふぁ} kaj K_{αあるふぁ} estas eksponente kreskanta kaj eksponente malkreskanta funkcioj respektive. Simile al la ordinara funkcio de Bessel J_{αあるふぁ}, la funkcio I_{αあるふぁ} iras al nulo je x=0 por αあるふぁ>0 kaj estas finia je x=0 por αあるふぁ=0. Analoge, K_{αあるふぁ} malkonverĝas je x=0 por entjera αあるふぁ .

Modifitaj funkcioj de Bessel K_1/3 kaj K_2/3 povas esti prezentitaj per rapide konverĝantaj integraloj

$K_{1/3}(\xi )={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx$

$K_{2/3}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+x^{2}/3}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx$

La modifita funkcio de Bessel de la dua speco ankaŭ estadas nomata per la nun maloftaj nomoj:

• funkcio de Basset
• modifita funkcio de Bessel de la tria speco
• modifita funkcio de Hankel
• funkcio de MacDonald

Sferaj funkcioj de Bessel j_n, y_n

Sferaj funkcioj de Bessel de 1-a speco j_n(x) por n = 0, 1, 2

Sferaj funkcioj de Bessel de 2-a speco y_n(x) por n = 0, 1, 2

En solvado de la ekvacio de Helmholtz en sferaj koordinatoj per apartigo de variabloj, la radiusa ekvacio havas formon:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0$

La du lineare sendependaj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio estas nomataj kiel la sferaj funkcioj de Bessel j_n kaj y_n, kaj estas rilatantaj al la ordinaraj funkcioj de Bessel J_n kaj Y_n per

$j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x)$

$y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-1/2}(x)$

y_n estadas ankaŭ signifata kiel n_n aŭ ηいーた_n; iuj aŭtoroj nomas ĉi tiujn funkciojn kiel la sferaj funkcioj de Neumann.

La sferaj funkcioj de Bessel povas ankaŭ esti skribita kiel (la formuloj de Rayleigh):

$j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin(x)}{x}}$

$y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos(x)}{x}}$

La unua sfera funkcio de Bessel j₀(x) estas ankaŭ sciata kiel la nenormigita sinc funkcio. La unuaj kelkaj sferaj funkcioj de Bessel estas:

$j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$

$j_{1}(x)={\frac {\sin(x)}{x^{2}}}-{\frac {\cos(x)}{x}}$

$j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {3\cos(x)}{x^{2}}}$

$j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos(x)}{x}}$

kaj

$y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x}}$

$y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x^{2}}}-{\frac {\sin(x)}{x}}$

$y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos(x)}{x}}-{\frac {3\sin(x)}{x^{2}}}$

$y_{3}(x)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}$

La ĝenerala idento estas

${\begin{aligned}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sum _{i=0}^{\frac {n+1}{2}}(-1)^{n-i}&\left(\sin(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i}\right.\\&\left.{}-\cos(x)\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1-2i}{\frac {(n-i)!}{i!}}i{-{\frac {1}{2}}-i \choose n-2i+1}\right)\end{aligned}}$

kie la supra limigo de sumado estas komprenita al esti la plej granda entjero malpli granda ol aŭ egala al (n+1)/2.

Generantaj funkcioj

La sferaj funkcioj de Bessel havas la generantajn funkciojn

${\frac {1}{z}}\cos({\sqrt {z^{2}-2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z)$

${\frac {1}{z}}\sin({\sqrt {z^{2}+2zt}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z)$

Diferencialaj rilatoj

En jena formulo f_n estas ĉiu el $j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}$ por n = 0, ±1, ±2, ...

$\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z)$

Sferaj funkcioj de Hankel h_n

Estas ankaŭ sferaj analogoj de la funkcioj de Hankel:

$h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)$

$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x)$

Fakte, estas simplaj fermita-formaj esprimoj por la funkcioj de Bessel de duono-entjeraj ordoj per la normaj trigonometriaj funkcioj, kaj pro tio por la sferaj funkcioj de Bessel. Aparte, por nenegativaj entjeroj n

$h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}$

kaj $h_{n}^{(2)}$ estas la komplekso-konjugita de ĉi tiu por reela x.

Funkcioj de Riccati-Bessel S_n, C_n, ξくしー_n, ζぜーた_n

Funkcioj de Riccati-Bessel nur malmulte malsamas de sferaj funkcioj de Bessel:

$S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,J_{n+1/2}(x)$

$C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\pi x/2}}\,Y_{n+1/2}(x)$

$\xi _{n}(x)=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,H_{n+1/2}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)$

$\zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\pi x/2}}\,H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)$

Ili kontentigas la diferencialan ekvacion

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0$

Ĉi tiu diferenciala ekvacio, kaj la solvaĵoj de Riccati-Bessel, ekestas en la problemo de verŝado de elektromagnetaj ondoj per sfero, sciata kiel verŝado de Mie post la unua publikigita solvaĵo de Mie (1908).

Sekve al Peter Debye (1909), la skribmanieroj ψぷさい_n, χかい_n estas iam uzata anstataŭ S_n, C_n.

Asimptotaj formoj

La funkcioj de Bessel havas jenajn asimptotajn formojn por nenegativa αあるふぁ. Por malgrandaj argumentoj $0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}$

$J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }$

$Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left(\ln(x/2)+\gamma \right)&\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&\alpha >0\end{cases}}$

kie γがんま estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni (0,5772...) kaj Γがんま estas la Γがんま-funkcio. Por grandaj argumentoj $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$, ili estas

$J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$

$Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Por αあるふぁ=1/2 ĉi tiuj formuloj estas akurataj; vidu la sferajn funkciojn de Bessel pli supre. Asimptotaj formoj por la aliaj specoj de funkcioj de Bessel sekvas simple de la pli supre donitaj rilatoj. Ekzemple, por granda $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$, la modifitaj funkcioj de Bessel estas:

$I_{\alpha }(x)\approx {\frac {e^{x}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}-{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right)$

$K_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-x}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8x}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8x)^{2}}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8x)^{3}}}+\cdots \right)$

Simile, la lastaj esprimoj estas akurataj por αあるふぁ = 1/2.

Por malgrandaj argumentoj $0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}$ ili estas:

$I_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }$

$K_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}-\ln(x/2)-\gamma &\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&\alpha >0\end{cases}}$

Proprecoj

Por entjera ordo n, J_n estas ofte difinita per serio de Laurent por generanta funkcio

$e^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}$

kio estas maniero uzita de P. A. Hansen en 1843. Ĉi tio povas esti ĝeneraligita al ne-entjeraj ordo per kontura integralado aŭ aliaj manieroj. Alia grava rilato por entjeraj ordoj estas la elvolvaĵo de Jacobi-Anger:

$e^{iz\cos(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }$

kaj

$e^{iz\sin(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\phi }$

kiu estas uzata por elvolvi ebenan ondon kiel sumo de cilindraj ondoj, aŭ por trovi la serion de Fourier de tono-modulita frekvence modulita signalo.

Pli ĝenerale, serio

$f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)$

estas nomata kiel elvolvaĵo de Neumann de f. La koeficientoj por νにゅー=0 havas la eksplicitan formon

$a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz$

kie O_k estas polinomo de Neumann.

Elektitaj funkcioj konsentas la specialan prezenton

$f(z)=\sum _{k=0}a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)$

kun

$a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\mathrm {d} z$

pro la orteca rilato $\int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {\mathrm {d} z}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

Pli ĝenerale, se f havas branĉo-punkton proksime de la fonto de tia naturo ke $f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)$ do

${\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{(s+{\sqrt {1+s^{2}}})^{\nu +k}}}$

aŭ

$\sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)$

kie ${\mathcal {L}}\{f\}$ estas laplaca transformo de f.

Alia maniero difini la funkciojn de Bessel estas la prezenta formulo de Poisson kaj la formulo de Mehler-Sonine:

${\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {({\frac {z}{2}})^{\nu }}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}(1-s^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds,\\&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin(zu)}{(u^{2}-1)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du,\end{aligned}}$

kie νにゅー > -1/2 kaj z estas kompleksa nombro. Ĉi tiu formulo estas utila aparte en laboro kun konvertoj de Fourier.

La funkcioj J_{αあるふぁ}, Y_{αあるふぁ}, H_{αあるふぁ}⁽¹⁾, kaj H_{αあるふぁ}⁽²⁾ ĉiuj kontentigas la rikurecajn rilatojn:

${\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)$

$2{\frac {dZ_{\alpha }}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x)$

kie Z estas J, Y, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾. Ĉi tiuj du identoj estas ofte kombinitaj, ekzemple adiciitaj aŭ subtrahitaj, por liveri diversajn aliajn rilatojn. Tiamaniere, ekzemple, oni povas komputi funkciojn de Bessel de pli altaj ordoj (aŭ pli altajn derivaĵojn) per donitaj valoroj je suba ordoj (aŭ subaj derivaĵoj). Tiel, el ĉi tio sekvas ke

$\left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x)$

$\left({\frac {d}{xdx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}$

Modifitaj funkcioj de Bessel sekvas similajn rilatojn

$e^{(x/2)(t+1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}$

kaj

$e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos(n\theta )$

La rikureca rilato estas

$C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x)$

$C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)=2{\frac {dC_{\alpha }}{dx}}$

kie C_{αあるふぁ} estas I_{αあるふぁ} aŭ e^{αあるふぁπぱいi}K_{αあるふぁ}. Ĉi tiuj rikurecaj rilatoj estas utilaj por diskretaj difuzaj problemoj.

Ĉar ekvacio de Bessel iĝas hermita (memadjunkta) se ĝi estas dividita per x, la solvaĵoj devas kontentigi ortecan interrilaton por konvenaj randaj kondiĉoj. Aparte, el ĉi tio sekvas ke

$\int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})J_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha }'(u_{\alpha ,m})]^{2}$

kie αあるふぁ>-1, δでるた_m,n estas la delto de Kronecker, kaj u_{αあるふぁ,m} estas la m-a nulo de J_{αあるふぁ}(x). Ĉi tiu orteca rilato povas tiam esti uzata por ekstrakti la koeficientojn en la serio de Fourier-Bessel, kie funkcio estas elvolvita en la bazo de la funkcioj J_{αあるふぁ}(x u_{αあるふぁ,m}) por fiksita αあるふぁ kaj varianta m.

Analoga interrilato por la sferaj funkcioj de Bessel estas

$\int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}$

Alia orteca rilato estas la fermaĵa ekvacio

$\int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)$

por αあるふぁ>-1/2 kie δでるた estas la diraka delta funkcio. Ĉi tiu propraĵo estas uzata por konstrui ajnan funkcion de serio de funkcioj de Bessel per la konverto de Hankel. Por la sferaj funkcioj de Bessel la orteca rilato estas:

$\int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)$

por αあるふぁ>-1.

Alia grava propreco de ekvacioj de Bessel, kiu sekvas el abela idento, estas

$A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}$

kie A_{αあるふぁ} kaj B_{αあるふぁ} estas ĉiuj du solvaĵoj de ekvacio de Bessel, kaj C_{αあるふぁ} estas konstanto sendependa de x (kiu dependas de αあるふぁ kaj de la apartaj funkcioj de Bessel konsiderataj). Ekzemple, se A_{αあるふぁ} = J_{αあるふぁ} kaj B_{αあるふぁ} = Y_{αあるふぁ}, do C_{αあるふぁ}=2/πぱい. Ĉi tio veras ankaŭ por la modifitaj funkcioj de Bessel, ekzemple, se A_{αあるふぁ} = I_{αあるふぁ} kaj B_{αあるふぁ} = K_{αあるふぁ}, do C_{αあるふぁ}=-1.

Estas granda kvanto de la aliaj sciataj integraloj kaj identoj.

Multiplika teoremo

La funkcioj de Bessel kontentigas multiplikan teoremon

$\lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)$

kie λらむだ kaj νにゅー povas esti ajnaj kompleksaj nombroj. Simila formo povas esti donita por $Y_{\nu }(z)$ kaj kaj tiel plu

Hipotezo de Bourget

Bessel mem originale pruvis ke por nenegativaj entjeroj n, la ekvacio J_n(x) = 0 havas malfinian kvanton de solvaĵoj por x. Kiam la funkcioj J_n(x) estas grafike prezentitaj sur la sama grafikaĵo, kvankam, neniu el la nuloj aspektas al koincidi por malsamaj valoroj de n krom la nulo je x=0. Ĉi tio estas sciata kiel hipotezo de Bourget post la dek-naŭa jarcenta franca matematikisto kiu studis funkciojn de Bessel. Aparte ĝi statas ke por ĉiu entjeroj n≥0 kaj m≥1, la funkcioj J_n(x) kaj J_n+m(x) ne havas komunajn nulojn escepte de la unu je x=0. La hipotezo estis pruvita de Siegel en 1929.

Derivaĵoj de J, Y, I, H, K

p-1 dependo

${\frac {d}{dx}}y_{p}(\alpha x)=\alpha y_{p-1}(\alpha x)-{\frac {p}{x}}y_{p}(\alpha x)$

por y = J, Y, I, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾.

${\frac {d}{dx}}y_{p}(\alpha x)=-\alpha y_{p-1}(\alpha x)-{\frac {p}{x}}y_{p}(\alpha x)$

por y = K

p+1 dependo

${\frac {dy_{p}(\alpha x)}{dx}}=-\alpha y_{p+1}(\alpha x)+{\frac {p}{x}}y_{p}(\alpha x)$

por y = J, Y, K, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾.

${\frac {dy_{p}(\alpha x)}{dx}}=\alpha y_{p+1}(\alpha x)+{\frac {p}{x}}y_{p}(\alpha x)$

por y = I

Aliaj interrilatoj

${\frac {dy_{p}(\alpha x)}{dx}}={\frac {\alpha }{2}}[y_{p-1}(\alpha x)-y_{p+1}(\alpha x)]$

por y = J, Y, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾.

$y_{p-1}(\alpha x)+y_{p+1}(\alpha x)={\frac {2p}{\alpha x}}y_{p}(\alpha x)$

por y = J, Y, H⁽¹⁾ aŭ H⁽²⁾.

Iuj identoj

• $I_{-1/2}(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cosh(z)$
• $I_{1/2}(z)={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z)$
• $I_{\nu }(z)=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z)$
• $J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)$
• $I_{\nu }(\lambda z)=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left({\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)z\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)$
• $I_{\nu }(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2}),\quad J_{\nu }(z_{1}\pm z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{\nu \mp k}(z_{1})J_{k}(z_{2})$
• $J_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }(z)={\frac {z}{2\nu }}(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z))$
• $J_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)),\quad I_{\nu }'(z)={\tfrac {1}{2}}(I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z))$
• $\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{\nu }=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}I_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}(-1)^{k}J_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu +1)\sum _{k=0}{\frac {1}{k!}}\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{k}J_{\nu +k}(z)$
• $K_{\frac {1}{2}}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\mathrm {e} ^{-z}z^{-1/2},\,z>0$

Vidu ankaŭ

• Γがんま-funkcio
• Funkcio de Bessel-Clifford
• Polinomo de Bessel
• Propagilo
• Serio de Fourier-Bessel
• Funkcio de Struve
• Funkcio de Kelvin
• Funkcio de Lommel
• Polinomo de Lommel
• Polinomo de Neumann
• Vibradoj de cirkla tamburo
• Filtrilo de Bessel
• Trigonometria funkcio

Eksteraj ligiloj

• Lizorkin, P. I., Funkcioj de Bessel en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Karmazina, L. N.; Prudnikov, A.P., Cilindraj funkcioj en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Rozov, N. Kh., Ekvacio de Bessel en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Funkciaj paĝoj de Wolfram pri funkcioj de Bessel: J kaj Y funkcioj, kaj modifitaj I kaj K funkcioj
• Eric W. Weisstein, Funkcioj de Bessel de la unua speco en MathWorld.
• [1] Arkivigite je 2010-09-23 per la retarkivo Wayback Machine
• [2] Abramowitz kaj Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4. Pri funkcioj de Hankel
• [3] Abramowitz kaj Stegun, p. 360, 9.1.10, serio de Taylor de funkcioj de Bessel
• [4] Abramowitz kaj Stegun, p. 363, 9.1.74. Multiplika teoremo
• [5] Abramowitz kaj Stegun, p. 374, 9.6.1. Du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel
• [6] Abramowitz kaj Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11. Modifitaj funkcioj de Bessel
• [7] Abramowitz kaj Stegun, p. 377, 9.7.1. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
• [8] Abramowitz kaj Stegun, p. 378, 9.7.2. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
• [9] Abramowitz kaj Stegun, p. 437, 10.1.1. Sferaj funkcioj de Bessel
• [10] Abramowitz kaj Stegun, p. 438, 10.1.11. j₂(x), y₂(x)
• [11] Abramowitz kaj Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26. La formuloj de Rayleigh por la sferaj funkcioj de Bessel, generantaj funkcioj, diferencialaj rilatoj
• [12] Arkivigite je 2012-02-04 per la retarkivo Wayback Machine
• [13] C. Truesdell. Pri la adicia kaj multiplika teoremoj por la specialaj funkcioj. Paperoj de la Nacia Akademio de Sciencoj, Matematiko, (1950) pp.752–757.