El Vikipedio, la libera enciklopedio
La modelo de Einstein estas modelo de solido kiel aro de harmonaj osciloj kiuj ne interagas kaj oscilas ĉe la sama frekvenco .
Konsideru unu harmonan oscilon kun frekvenco
ω おめが
{\displaystyle \omega }
. La dispartiga funkcio estas do
Z
(
T
)
=
∑
n
=
0
∞
exp
(
−
(
n
+
1
/
2
)
ℏ
ω おめが
/
k
T
)
{\displaystyle Z(T)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-(n+1/2)\hbar \omega /kT)}
=
exp
(
−
ℏ
ω おめが
/
2
k
T
)
1
−
exp
(
−
ℏ
ω おめが
/
k
T
)
=
1
2
sinh
(
ℏ
ω おめが
/
2
k
T
)
{\displaystyle ={\frac {\exp(-\hbar \omega /2kT)}{1-\exp(-\hbar \omega /kT)}}={\frac {1}{2\sinh(\hbar \omega /2kT)}}}
.
La dispartiga funkcio de
3
N
{\displaystyle 3N}
tiaj osciloj estas do
Z
(
T
)
=
1
(
2
sinh
(
ℏ
ω おめが
/
2
k
T
)
)
3
N
{\displaystyle Z(T)={\frac {1}{(2\sinh(\hbar \omega /2kT))^{3N}}}}
.
(Ni konsideru
3
N
{\displaystyle 3N}
oscilojn ĉar ĉiu partiklo havas tri gradojn de libereco laŭ la tri dimensioj de spaco.)
La averaĝa energio
U
{\displaystyle U}
de la sistemo de
3
N
{\displaystyle 3N}
osciloj ĉe temperaturo
T
{\displaystyle T}
estas
U
(
T
)
=
−
d
ln
Z
d
(
1
/
k
T
)
=
3
2
N
ℏ
ω おめが
coth
ℏ
ω おめが
2
k
T
{\displaystyle U(T)=-{\frac {\operatorname {d} \ln Z}{\operatorname {d} (1/kT)}}={\frac {3}{2}}N\hbar \omega \coth {\frac {\hbar \omega }{2kT}}}
.
La sendimensia varmokapacito estas
C
V
/
N
k
=
1
N
k
d
U
d
T
=
3
(
ℏ
ω おめが
/
2
k
T
)
2
sinh
2
(
ℏ
ω おめが
/
2
k
T
)
{\displaystyle C_{V}/Nk={\frac {1}{Nk}}{\frac {\operatorname {d} \!U}{\operatorname {d} \!T}}={\frac {3(\hbar \omega /2kT)^{2}}{\sinh ^{2}(\hbar \omega /2kT)}}}
.
Ĉe grandega temperaturo
T
≫
ℏ
ω おめが
/
k
{\displaystyle T\gg \hbar \omega /k}
,
C
V
/
N
k
→
3
{\displaystyle C_{V}/Nk\to 3}
.
Tiu ĉi fakto nomiĝas la leĝo de Dulong–Petit .
Ĉe malgrandega temperaturo
T
≪
ℏ
ω おめが
/
k
{\displaystyle T\ll \hbar \omega /k}
,
C
V
/
N
k
≈
3
(
ℏ
ω おめが
/
k
T
)
2
exp
(
ℏ
ω おめが
/
k
T
)
→
0
{\displaystyle C_{V}/Nk\approx {\frac {3(\hbar \omega /kT)^{2}}{\exp(\hbar \omega /kT)}}\to 0}
.
A. Einstein , "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", Annalen der Physik , vol. 22, pp. 180–190, 1907.
B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Éléments de physique statistique , 1996.
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique .