Vastaluku

Matematiikassa jokaisella kokonaisluvulla x on vastaluku − x, jolle pätee x + (−x) = 0. Vastaluku liittyy käsitteenä matematiikassa kahden luvun yhteenlaskuun, jonka tulokseksi saadaan nolla

$a+b=0\quad \Leftrightarrow \quad a=0-b=-b\quad \Leftrightarrow \quad b=0-a=-a$.

Tällöin sanotaan, että molemmat luvut $a$ ja $b$ ovat toistensa vastalukuja ja ne sijaitsevat lukusuoralla yhtä kaukana nollapisteestä.

Edellinen esitys on koulumatematiikassa monelle tutuksi tullut määritelmä. Matematiikassa lukua nolla pidetään yhteenlaskuun liittyvänä kokonaislukujoukon neutraalialkiona eli 0-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 0-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan additiivisia.

Kokonaisluvut

Jossakin vaiheessa matematiikan historiaa otettiin käyttöön negatiiviset luvut, jotta vähennyslaskua voitiin soveltaa rajoituksetta luonnollisille luvuille. Jos vähennettävä on suurempi kuin vähentäjä, tulee erotukseksi positiivinen luku. Näin on, kun lasketaan esimerkiksi $5-2=3$. Jos vähentäjä on suurempi kuin vähennettävä, merkitään erotukseksi vastaluku. Näin käy esimerkiksi, kun $2-5=-3$. Vastaluvun merkkinä oleva miinus (-) lienee vähennyslaskusta peräisin.

Kokonaislukujen joukko on muodostettu lisäämällä luonnollisiin lukuihin negatiiviset luvut. Negatiiviset luvut sisältävät jokaisen luonnollisen luvun vastaluvun eli negaation. Kokonaislukujen joukko onkin yksinkertaisin lukujoukko, jossa vastaluvut ovat olemassa. Jos kokonaislukuja kuvataan lukusuoralla olevilla pisteillä, sijoittuvat vastaluvut nollapisteestä katsottuna yhtä etäälle positiivisten- tai negatiivisten lukujen puolille. Luvun etäisyys nollasta kutsutaan luvun itseisarvoksi, jolloin positiivisuus ja negatiivisuus ovat luvun itseisarvoon liitettäviä erottelevia lisämääreitä.

Positiivisesta luvusta voidaan tehdä negatiivinen liittämällä sen eteen miinusmerkki. Etumerkkiä voidaan pitää unaarioperaationa, jolla positiivinen luku muutetaan vastaluvukseen ($-(3)=-3$). Kun negatiivisen luvun vastaluku on sen positiivinen itseisarvo, toimii miinusmerkki negatiivisen luvun eteen laitettuna vastalukuoperaationa ($-(-3)=3$). Tämä voidaan ilmaista yleisesti positiiviselle kokonaisluvulle $a$, joka ei ole nolla. Tällöin merkintä

$-(a)=-a$ tarkoittaa positiivisen luvun vastalukua.

$-(-a)=a$ tarkoittaa negatiivisen luvun vastalukua.

Alkuperäisen määritelmän mukaan toisilleen vastalukuina olevien lukujen summa on nolla

$a+(-a)=0$

johtaa tulokseen, että vastaluku on aina luvun negaatio

$a+(-a)=0\Leftrightarrow a=a$

ja luvulla on vain yksi vastaluku.

Nolla on oma vastalukunsa.

Rationaaliluvut

Jotta kokonaislukujen jakolasku olisi aina laskettavissa, laajennettiin kokonaislukujen joukkoa kaikilla kokonaislukujen suhteilla. Näin muodostettiin rationaaliluvut. Osamäärään voitiin valita sekä negatiivisia että positiivisia lukuja, joten on sovittava rationaaliluvun merkki. Jos osamäärässä jaettava ja jakaja ovat molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia, tuli luvusta positiivinen. Jos taas osamäärä muodostettiin erimerkkisistä luvuista, tuli osamääräksi negatiivinen.

Myös rationaaliluvut muodostuvat positiivisista luvuista ja näiden vastaluvuista. Nolla on oma vastalukunsa myös rationaalilukuna, mikä tarkoittaa että se on jakolaskun osoittaja; nimittäjänä se ei voi esiintyä.

Reaaliluvut

Reaaliluvut saadaan täydentämällä rationaaliluvut irrationaaliluvuilla. Jokaisella irrationaaliluvulla on myös vastalukunsa, joten reaaliluvut ovat vastalukujen suhteen samantyyppinen lukujoukko kuin rationaaliluvut.

Kompleksiluvut

Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. Kompleksiluvun $z=a+bi$, missä $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja ja $i$ on imaginaariyksikkö, vastaluku on:

$-{z}=-a-bi$

Määritelmä ehto toteutuu, koska

$z+(-z)=(a+bi)+(-a-bi)=(a-a)+(bi-bi)=0$

Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli

$z=re^{i\theta }=r\cos \theta +ir\sin \theta ,\$

niin sen vastaluku on

$-z=re^{i(\theta +\pi )}=-re^{i\theta }=-r\cos \theta -ir\sin \theta .\$

Katso myös

• Käänteisluku

Lähteet

• Barile, Margherita: Additive Inverse, MathWorld
• Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 1. (lukion pitkän matematiikan kirja) Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5822-0

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook)