Cayleyn lause

Cayleyn lause on ryhmäteorian perustulos. Se sanoo, että jokainen ryhmä G on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän S_G aliryhmän kanssa. Erityisesti jos G on kertalukua n oleva äärellinen ryhmä, niin se on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän S_n aliryhmän kanssa. Cayleyn lause on eräs sovellus ryhmän G toiminnasta itselleen. Lause on nimetty matemaatikko Arthur Cayleyn mukaan.

Cayleyn lause on merkittävä, koska sen perusteella konstruktioiltaan hyvinkin erilaiset ryhmät ovat pohjimmiltaan vain permutaatioiden muodostamia ryhmiä. Ennen Cayleytä matemaatikot eivät käyttäneet ryhmän modernia määritelmää, vaan varhainen ryhmäteoria oli yksinomaan permutaatioiden ominaisuuksien tutkimista. Cayley määritteli ryhmän ensimmäisenä modernilla tavalla binäärisen operaation avulla ja osoitti, että tämä määritelmä johtaa pohjimmiltaan saman rakenteen tutkimiseen kuin permutaatioryhmien tapauksessa. Tämän lähestymistavan etu on, että se abstraktimpana soveltuu useampiin tilanteisiin.

Lisäksi Cayleyn lause osoittaa, että isomorfismin suhteen on olemassa vain äärellinen määrä tiettyä kertalukua olevia ryhmiä. Täten on olemassa vain äärellinen määrä kertalukua n olevia rakenteeltaan "merkittävästi" eroavia ryhmiä.

Todistus

Todistuksen ideana on muodostaa jokaista ryhmän alkiota kohti sellainen yksikäsitteinen joukon G permutaatio, että ryhmän rakenne säilyy siirryttäessä tarkastelemaan näiden permutaatioiden muodostamaa ryhmää. Olkoon g ryhmän $(G,*)\$ mielivaltainen alkio. Asetetaan funktio

$f_{g}:G\rightarrow G,f_{g}(x)=g*x\ .$

Koska

$g*x=g*y\Leftrightarrow x=y\$ ja $f(g^{-1}x)=g*(g^{-1}*x)=x\$

kaikilla $x,y\in G$, niin kuvaus $f_{g}\$ on bijektio ja siten joukon $G\$ permutaatio. Siis $f_{g}\in S_{G}\$ ja lisäksi nämä kuvaukset muodostavat ryhmän $(G,*)\$ toiminnan itselleen. Mikäli ryhmä $(G,*)\$ on äärellinen ja sen alkiot ovat $1,g_{2},g_{3},\ldots ,g_{n-1}\$, niin syklimuodossa permutaation esitys on

$f_{g}={\begin{pmatrix}1&g_{2}&g_{3}&\ldots &g_{n-1}\\g&gg_{2}&gg_{3}&\ldots &gg_{n-1}\end{pmatrix}}.\$

Asetetaan funktio

$f:G\rightarrow S_{G},f(g)=f_{g}.\$

Kyseessä on homomorfismi, sillä

$(f_{g}\circ f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x)\$

kaikilla $g,h,x\in G\$. Lisäksi $\mathop {\mathrm {ker} } (f)=\{1\}\$, joten homomorfismien peruslauseen nojalla

$G\cong G/\mathop {\mathrm {ker} } (f)\cong \mathop {\mathrm {im} } (f)\leq S_{G},\$

mikä todistaakin lauseen väitteen.

Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että joukko

$K=\{f_{g}\in S_{G}\ |\ g\in G\}\$

on ryhmän $S_{G}\$ aliryhmä ja $\mathop {\mathrm {im} } (f)=K\$. Koska $f_{g}=f_{h}\$ jos ja vain jos $g=h\$ kaikilla $g,h\in G\$, niin kuvaus $f\$ on injektio. Tällöin sen rajoittuma joukkoon $K\$ on bijektio, ja lause on täten todistettu.