Juurifunktio on muuttujan
x
{\displaystyle x\!}
matemaattinen funktio , joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä
f
:
x
↦
a
x
1
n
a
∈
R
,
n
∈
Z
{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{\frac {1}{n}}\qquad a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {Z} }
missä
x
1
n
{\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}
potenssi ja yksikkömurtoluku
1
n
{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\!}
eksponentti . Eksponentissa luku
n
{\displaystyle n}
asteeksi . Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
f
(
x
)
=
a
x
1
n
=
a
x
n
a
∈
R
{\displaystyle f(x)=ax^{\frac {1}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}\qquad a\in \mathbb {R} }
Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
n
{\displaystyle n}
parillinen , on määrittelyjoukko rajoitettu
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla
(
−
2
)
3
=
−
8
⇔
−
8
3
=
−
2.
{\displaystyle (-2)^{3}=-8\Leftrightarrow {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}
−
8
:
{\displaystyle -8:}
{
−
2
,
1
+
i
3
,
1
−
i
3
}
{\displaystyle \{-2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}\}}
−
2
,
1
+
i
3
,
1
−
i
3
{\displaystyle -2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}}
π ぱい ,
π ぱい 3
,
−
π ぱい 3
{\displaystyle \pi ,{\frac {\pi }{3}},-{\frac {\pi }{3}}}
−
8
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}
1
+
i
3
{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}
[ 1]
Juurifunktiot, joilla on pariton aste. Juurifunktiot, joilla on parillinen aste.
Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku , ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta , koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla
x
,
{\displaystyle {\sqrt {x}},}
x
3
,
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}},}
x
5
,
…
{\displaystyle {\sqrt[{5}]{x}},\dots }
Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.[ 2]
Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita , joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja
n
∈
N
:
n
=
2
,
3
,
4
,
.
.
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} :n=2,3,4,...}
f
(
x
)
=
x
,
x
≥
0
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}},\ x\geq 0}
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1}(x)}
kvadraattinen funktio
f
−
1
(
x
)
=
x
2
,
x
≥
0.
{\displaystyle f^{-1}(x)=x^{2},\ x\geq 0.}
[ 3]
f
(
x
)
=
x
3
,
x
∈
R
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}},\ x\in \mathbb {R} }
f
−
1
(
x
)
=
x
3
,
x
∈
R
.
{\displaystyle f^{-1}(x)=x^{3},\ x\in \mathbb {R} .}
Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla
2
n
{\displaystyle 2n}
f
(
x
)
=
x
2
n
,
x
≥
0
→
f
−
1
(
x
)
=
x
2
n
,
x
≥
0
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n}]{x}},\ x\geq 0\rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n},\ x\geq 0}
ja parittomilla asteilla
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
f
(
x
)
=
x
2
n
+
1
,
x
∈
R
→
f
−
1
(
x
)
=
x
2
n
+
1
,
x
∈
R
.
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n+1}]{x}},\ x\in \mathbb {R} \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1},\ x\in \mathbb {R} .}
Yleinen potenssien derivaatta , kun
r
∈
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
D
x
r
=
r
x
r
−
1
.
{\displaystyle Dx^{r}=rx^{r-1}.}
[ 4] Kun juurifunktion aste on
n
{\displaystyle n}
D
x
n
=
D
x
1
n
=
1
n
x
1
n
−
1
=
1
n
x
−
n
−
1
n
=
1
n
1
x
n
n
−
1
{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}=Dx^{\tfrac {1}{n}}={\frac {1}{n}}x^{{\tfrac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}}
[ 4] tai vaihtoehtoisesti
D
x
n
=
1
n
x
−
n
−
1
n
=
1
n
1
x
n
−
1
n
=
1
n
1
x
1
−
1
n
=
1
n
x
n
x
.
{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{\tfrac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{x}}.}
[ 4] Neliöjuuren derivaatta on siten
D
x
=
1
2
x
{\displaystyle D{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
[ 3] ja kuutiojuuren derivaatta
D
x
3
=
1
3
x
3
2
=
x
3
3
x
{\displaystyle D{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{3x}}}
[ 4] ja neljäsjuuren derivaatta
D
x
4
=
1
4
x
4
3
=
x
4
4
x
.
{\displaystyle D{\sqrt[{4}]{x}}={\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{x}}^{3}}}={\frac {\sqrt[{4}]{x}}{4x}}.}
[ 4] n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan
∫
x
r
d
x
=
1
r
+
1
x
r
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{r}dx={\frac {1}{r+1}}x^{r+1}+C\!}
[ 4] eli
∫
x
1
n
d
x
=
1
1
+
1
n
x
1
+
1
n
+
C
=
n
n
+
1
x
n
+
1
n
+
C
=
n
n
+
1
x
x
n
+
C
{\displaystyle \int x^{\tfrac {1}{n}}\ dx={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{n}}}}x^{1+{\tfrac {1}{n}}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x^{\tfrac {n+1}{n}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x{\sqrt[{n}]{x}}+C}
[ 4] Silloin neliöjuuren integraali on
∫
x
d
x
=
2
3
x
3
2
+
C
=
2
3
x
x
+
C
.
{\displaystyle \int {\sqrt {x}}\ dx={\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+C={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+C.}
[ 4] ja kuutiojuuren integraali
∫
x
3
d
x
=
3
4
x
4
3
+
C
=
3
4
x
x
3
+
C
{\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{x}}\ dx={\frac {3}{4}}x^{\tfrac {4}{3}}+C={\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+C}
[ 4] Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
De Moivre'n teoreemassa , jossa kompleksiluvun
z
{\displaystyle z}
p
{\displaystyle p}
z
p
=
[
r
(
cos
θ しーた +
i
sin
θ しーた )
]
p
=
r
p
(
cos
p
θ しーた +
i
sin
p
θ しーた )
,
{\displaystyle z^{p}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{p}=r^{p}(\cos p\theta +i\sin p\theta ),}
[ 5] voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi
p
=
1
n
{\displaystyle p={\tfrac {1}{n}}}
z
1
n
=
[
r
(
cos
θ しーた +
i
sin
θ しーた )
]
1
n
=
r
1
n
(
cos
θ しーた +
2
k
π ぱい
n
+
i
sin
θ しーた +
2
k
π ぱい
n
)
,
{\displaystyle z^{\tfrac {1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{\tfrac {1}{n}}=r^{\tfrac {1}{n}}(\cos {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}),}
kun
k
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1.
{\displaystyle k=0,1,2,...,n-1.}
[ 5]
Neliöjuurelle
z
{\displaystyle {\sqrt {z}}}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
1.
{\displaystyle 1.}
Ensimmäinen juuri on arvoltaan
r
1
2
(
cos
θ しーた +
2
⋅
0
⋅
π ぱい
2
+
i
sin
θ しーた +
2
⋅
0
⋅
π ぱい
2
)
=
r
(
cos
θ しーた 2
+
i
sin
θ しーた 2
)
{\displaystyle r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}})}
ja toinen
r
1
2
(
cos
θ しーた +
2
⋅
1
⋅
π ぱい
2
+
i
sin
θ しーた +
2
⋅
1
⋅
π ぱい
2
)
=
r
(
cos
θ しーた +
2
π ぱい
2
+
i
sin
θ しーた +
2
π ぱい
2
)
{\displaystyle r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})}
eli
z
=
{
r
(
cos
θ しーた 2
+
i
sin
θ しーた 2
)
,
r
(
cos
θ しーた +
2
π ぱい
2
+
i
sin
θ しーた +
2
π ぱい
2
)
}
{\displaystyle {\sqrt {z}}=\{{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}}),{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})\}}
Jos lasketaan kompleksiluvun
z
=
1
+
i
3
{\displaystyle z=1+i{\sqrt {3}}}
r
=
1
2
+
3
2
=
2
{\displaystyle r={\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2}
tan
θ しーた =
3
1
=
3
{\displaystyle \tan \theta ={\tfrac {\sqrt {3}}{1}}={\sqrt {3}}}
θ しーた =
60
∘
.
{\displaystyle \theta =60^{\circ }.}
z
=
1
+
i
3
=
2
(
cos
60
∘
+
i
sin
60
∘
)
=
2
(
1
2
+
i
3
2
)
.
{\displaystyle z=1+i{\sqrt {3}}=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })=2({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}).}
z
=
1
+
i
3
=
{
2
(
cos
60
∘
2
+
i
sin
60
∘
2
)
,
2
(
cos
60
∘
+
360
∘
2
+
i
sin
60
∘
+
360
∘
2
)
}
{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {1+i{\sqrt {3}}}}=\{{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }}{2}}),{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}})\}}
=
{
2
(
cos
30
∘
+
i
sin
30
∘
)
,
2
(
cos
210
∘
+
i
sin
210
∘
)
}
=
{
2
(
1
2
+
3
2
i
)
,
2
(
−
3
2
−
1
2
i
)
}
=
{
1
2
+
3
2
i
,
−
3
2
−
1
2
i
}
{\displaystyle =\{{\sqrt {2}}(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }),{\sqrt {2}}(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ })\}=\{{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i),{\sqrt {2}}(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\}=\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}i,-{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i\}}
Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun
k
=
0
,
1
,
2.
{\displaystyle k=0,1,2.}
z
3
=
{
r
3
(
cos
θ しーた 3
+
i
sin
θ しーた 3
)
,
r
3
(
cos
θ しーた +
2
π ぱい
3
+
i
sin
θ しーた +
2
π ぱい
3
)
,
r
3
(
cos
θ しーた +
4
π ぱい
3
+
i
sin
θ しーた +
4
π ぱい
3
)
}
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}=\{{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{3}})\}}
Neljäs antaa neljä arvoa, kun
k
=
0
,
1
,
2
,
3.
{\displaystyle k=0,1,2,3.}
z
4
=
{
r
4
(
cos
θ しーた 4
+
i
sin
θ しーた 4
)
,
r
4
(
cos
θ しーた +
2
π ぱい
4
+
i
sin
θ しーた +
2
π ぱい
4
)
,
r
4
(
cos
θ しーた +
4
π ぱい
4
+
i
sin
θ しーた +
4
π ぱい
4
)
,
r
4
(
cos
θ しーた +
6
π ぱい
4
+
i
sin
θ しーた +
6
π ぱい
4
)
}
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=\{{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +6\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +6\pi }{4}})\}}
Weisstein, Eric W.: Cube Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
↑ Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus) 2001. Helsinki: Teknillinen korkeakoulu. ↑ Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio
↑ a b Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b c d e f g h i Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi) ↑ a b Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables . New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)
![{\displaystyle f(x)=ax^{\frac {1}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}\qquad a\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384c30623805238025a349a9b5bbced1f7b622e6)
![{\displaystyle (-2)^{3}=-8\Leftrightarrow {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47290c34ae11e72313f1c38cb5341d47a79a3a52)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1042604e3bf8b89ddd4771fcc19dbb36b05ce423)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c094af6a9b00c3d0353123fad5b4b32c65765efc)
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{x}},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9208cf549d66e76082a95ea5b93ea83b818b4b53)
![{\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}},\ x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81c0e85c6b0ee7f265d390cc0eeaddba77e2714)
![{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n}]{x}},\ x\geq 0\rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n},\ x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed6a21ecf2196d2daddf880e7a5b4db6a9bb190)
![{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n+1}]{x}},\ x\in \mathbb {R} \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1},\ x\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c806d5a820f752686debd3123fd0bca86c6cf6)
![{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}=Dx^{\tfrac {1}{n}}={\frac {1}{n}}x^{{\tfrac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b963eb08770cab7ec4065f2616997611440bbe)
![{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{\tfrac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbe1f93e831018a3f2f72eefbc947deb8f1182c)
![{\displaystyle D{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{3x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b89ca48d6de1a53a967fd845b733437f0aeef1)
![{\displaystyle D{\sqrt[{4}]{x}}={\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{x}}^{3}}}={\frac {\sqrt[{4}]{x}}{4x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a260518df4835e2b252557a778f6d6e65c43efde)
![{\displaystyle \int x^{\tfrac {1}{n}}\ dx={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{n}}}}x^{1+{\tfrac {1}{n}}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x^{\tfrac {n+1}{n}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x{\sqrt[{n}]{x}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db9784b7ffa52e0155fb2d8909b893109cfee97)
![{\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{x}}\ dx={\frac {3}{4}}x^{\tfrac {4}{3}}+C={\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fceda03d6625f4a0add40666b5c76a618b6d83e)
![{\displaystyle z^{p}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{p}=r^{p}(\cos p\theta +i\sin p\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a620eb2daf217c528f01edcd7ce35b6745195497)
![{\displaystyle z^{\tfrac {1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{\tfrac {1}{n}}=r^{\tfrac {1}{n}}(\cos {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021f176ac7f6e7c21b95662d9136cc755fce40ad)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}=\{{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{3}})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b6254dc4ae9ce9ad8b38c2967ad72d15617b41)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=\{{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +6\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +6\pi }{4}})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f00d516b0dfebea90b36421001ba77f31d876d6)