Masse de la Terre
La masse de la Terre, notée M🜨, est estimée à 5,972 2 × 1024 kg (5,972 2 Rg). Elle est déterminée aujourd'hui en divisant la constante géocentrique GM🜨 par la constante de gravitation G. La précision de sa valeur est limitée par celle de G, le produit GM pouvant être déduit directement des mesures de géodésie spatiale avec une précision bien supérieure.
Notations
modifierLa masse terrestre est couramment notée M🜨 ou MT, notation composée de la lettre M majuscule de l'alphabet latin, initiale de « masse », suivie, en indice, de 🜨, symbole astronomique de la Terre, ou de la lettre T, initiale de « Terre ».
Dans la littérature scientifique anglo-saxonne, elle est couramment notée ME ou simplement E[1].
Définition et expression
modifierLa masse terrestre est définie comme le rapport de la constante géocentrique de la gravitation, notée
- .
Cette définition est, de prime abord, tautologique puisque la constante géocentrique de la gravitation est égale au produit de la constante (universelle) de la gravitation par la masse terrestre. Elle s'avère utile car la constante géocentrique de la gravitation est connue avec davantage de précision que ses facteurs et G.
Dimension et unités
modifierLa masse terrestre a, par définition, la dimension d'une masse :
- .
Dans le Système international d'unités, elle s'exprime donc en kilogrammes (kg)[1]. Dans le système CGS, elle s'exprime en grammes (g). Dans le système astronomique d'unités, elle s'exprime en masses solaires (M⊙ ou MS, voire simplement S).
Valeur
modifierLa masse terrestre est estimée à[1] :
- ,
soit :
- ,
où est la masse du Soleil.
En 2018, une étude reposant sur la détection de neutrinos traversant la Terre a donné un résultat cohérent avec le précédent, mais moins précis[2] : .
Ordre de grandeur
modifier- Masse solaire : M☉ ≈ 333 060,402 M🜨[3]
- Masse jovienne : MJ ≈ 317,828 M🜨[4]
- Masse lunaire : ML ≈ 0,012 3 M🜨[5]
Composition
modifierLa masse de la Terre comprend celle de son atmosphère, qui est estimée à 5,148 0 × 1018 kg avec une variation annuelle, due à la vapeur d'eau, de 1,2 à 1,5 × 1015 kg en fonction de l'utilisation des données sur la pression de surface et la vapeur d'eau. La masse moyenne de la vapeur d'eau est estimée à 1,27 × 1016 kg et celle de l'air sec à environ 5,135 2 × 1018 kg[6]. L'atmosphère ne représentant donc qu'un millionième de la masse de notre planète, elle est bien inférieure à l'incertitude sur la masse totale de la planète et sa prise en compte n'a donc aucune incidence sur les calculs.
Stabilité relative
modifierLa masse de la Terre varie continuellement. Le gain de masse résulte de la poussière interstellaire captée par la planète. On estime sa masse à environ quarante tonnes par jour[7],[8], soit 10 000 à 20 000 tonnes par an. En un million d'années, la Terre accrète ainsi moins d'un cent-milliardième de sa masse.
À l'inverse, son atmosphère est soumise à une perte de masse régulière, due aux températures élevées de la thermosphère[9],[a]. Dans les deux cas, ces variations sont extrêmement faibles en comparaison de la masse totale de la Terre et cette dernière peut donc être considérée comme constante même à l'échelle de plusieurs millions d'années par rapport à aujourd'hui.
Utilisation
modifierBien que la masse solaire soit l'unité de masse du système astronomique d'unités, la masse terrestre est couramment utilisée, en astronomie, comme une unité de masse quand il s'agit d'exprimer des masses planétaires, en particulier d'une planète tellurique du Système solaire — Mercure, Vénus et Mars — ou d'une exoplanète tellurique.
Méthodes directes pour déterminer GM
modifierCette section et les suivantes décrivent comment on a déterminé de manière de plus en plus précise la masse de la Terre, à partir des premières idées formulées par Isaac Newton à la fin du XVIIe siècle jusqu'à l'époque contemporaine. Une grande partie de l'historique de cette détermination concerne l'histoire de la géodésie et se trouve intimement liée à la détermination de la figure de la Terre, l'autre partie appartenant à l'histoire de la physique et la série d'expériences ayant eu pour but de déterminer la constante de gravitation, initiée tout à la fin du XVIIIe siècle par Henry Cavendish.
Utilisation de la troisième loi de Kepler
modifierEn effet, on peut a priori envisager deux types de mesures pour déterminer le produit GM. D'une part, la troisième loi de Kepler appliquée au mouvement d'un satellite[b] (masse Ms) autour de la Terre (masse M) s'écrit :
- .
Ici G désigne la constante d'attraction universelle, a est le demi-grand axe de l'ellipse de Kepler, et
Utilisation de pendules
modifierD'autre part, on peut aussi déterminer cette constante GM au moyen de mesures pendulaires. En simplifiant un peu, quitte à apporter des corrections lors d'une détermination précise, on néglige la force centrifuge et on suppose la Terre sphérique. L'intensité de l'accélération gravifique à la surface terrestre vaut alors g = GM/R2, où R est le rayon moyen de la Terre. Pour un pendule simple de longueur l, cette accélération produit une période d'oscillation T = 2
- .
Le concept de pendule simple est une abstraction mathématique. En réalité, on utilise toujours un pendule composé. Ce dernier se compose d'un corps massique de forme géométrique en principe arbitraire, mais en fait soigneusement étudiée, oscillant autour d'un axe horizontal en un point fixe. La période d'oscillation d'un tel pendule est fournie par T = 2
Dans leurs expériences pendulaires, des observateurs comme Richer, Bouguer, Maupertuis et d'autres avaient l'habitude d'employer la demi-période T1/2 plutôt que la période T. Un « pendule battant la seconde » était un pendule pour lequel il s'écoulait une seconde de temps entre deux passages successifs de la masse à sa position la plus basse. Avec g = 9,81 m/s2, la longueur d'un pendule battant la seconde est donc l1s = g/
Suggestions d'Isaac Newton
modifierPlus tard, Isaac Newton suggéra deux méthodes différentes pour déterminer séparément soit G, soit M. Ces procédés, qui allaient être appliqués tous les deux au cours des décennies et siècles à venir, consistaient (1) soit à mesurer au laboratoire l'attraction entre deux corps de masses connues et séparés l'un de l'autre d'une distance connue, dans le but de déterminer G, (2) soit de mesurer la déviation du fil à plomb près d'une montagne de masse calculable M' pour estimer le rapport M/M', et par conséquent la masse M de la Terre.
Les premières tentatives pour déterminer la masse de la Terre par la méthode (2) sont celles de Bouguer, lors de l'expédition au Pérou (1735-1744). La première expérience pour mesurer au laboratoire G, et donc M, ne fut tentée et réussie qu'une soixantaine d'années plus tard. C'est la célèbre expérience de Henry Cavendish datant de 1798.
Le fait qu'une détermination directe de la constante gravitationnelle G ne fut tentée que bien après la mort de Newton résulte sans doute d'une sous-estimation malencontreuse des possibilités pratiques de réaliser une telle expérience. En effet, Newton considéra l'attraction entre deux sphères (chacune possédant une densité égale à celle de la densité moyenne de la Terre et un diamètre de 1 pied) et écrivit que « si elles étaient distantes l'une de l'autre ne fût-ce que de 1/4 de pouce, elles ne se rejoindraient pas sous l'action de leur attraction mutuelle, même dans des espaces dépourvus de résistance[d] en un temps plus court qu'un mois... À vrai dire, même des montagnes entières ne seront pas suffisantes pour produire un quelconque effet perceptible ».
Rappelons que Newton avait établi dans ses « Principia » que l'attraction gravifique à l'extérieur d'une configuration sphérique étendue est la même que celle d'un point concentrant toute la masse qui serait situé au centre de la sphère. En un point intérieur à la sphère, cette proposition reste valable à condition de ne considérer que la masse comprise à l'intérieur de la sphère concentrique passant par le point intérieur en question. Il s'ensuit que les couches sphériques extérieures n'exercent pas d'effet gravifique sur un point intérieur. En vertu de ce théorème, l'intensité de la gravité à la surface de la Terre, supposée sphérique, peut s'écrire :
- .
Ne connaissant ni G ni la densité moyenne
Masse de la Terre et déviations de la verticale
modifierExpériences de Bouguer au Chimborazo
modifierLors de l'expédition en Équateur, Bouguer a en fait essayé de déterminer la densité moyenne de la Terre par deux méthodes différentes. Ses observations n'ont pas abouti à des valeurs précises, mais elles ont donné lieu dans les décennies suivantes à des affinements. Ceux-ci ont finalement conduit à des valeurs de <
En 1738, Bouguer tenta de déterminer la densité moyenne (et donc la masse) de la Terre en effectuant des mesures de la déviation de la verticale provoquée par l'attraction d'une montagne située à proximité de la station d'observation. Pour son expérience, il choisit le volcan Chimborazo (6 250 m d'altitude, situé à la latitude de 1°25’S), montagne appartenant à la cordillère des Andes et possédant une forme suffisamment régulière pour estimer la position du barycentre. Une première station fut établie sur le versant sud à une altitude de 2 400 toises (un peu moins de 4 700 mètres) située sur le même méridien que le barycentre approximatif. On y fit des observations méridiennes d'un groupe d'étoiles boréales et d'un groupe d'étoiles australes, respectivement. À la suite de la déflexion du fil à plomb d'une quantité
Expériences de Maskelyne au mont Schiehallion
modifierDe nouvelles mesures de déviation de la verticale allaient être l'œuvre d'une équipe de savants britanniques. En effet, l'astronome Nevil Maskelyne (1732–1811) proposa en 1772 une répétition de l'expérience du Chimborazo, dans des conditions climatiques et sociales moins pénibles. À cette fin, une commission de la Royal Society of London sélectionna le mont Schiehallion (ou mont Schehallien) dans le Perthshire en Écosse. Cette montagne, dont le sommet s'élève à 1 010 m, possède une courte arête orientée est-ouest, et des pentes abruptes au nord et au sud. Elle se prêtait fort bien aux expériences bien que sa masse, et par conséquent son effet sur la direction de la verticale du lieu, fût évidemment beaucoup moindre que celle du Chimborazo. On fit des relevés soignés entre les années 1774 et 1776, qui conduisaient à établir deux stations sur le même méridien, l'une sur le versant nord, l'autre sur le versant sud. En chacune des stations, Maskelyne effectua quelque 170 déterminations de distances zénithales apparentes de plus de 30 étoiles, et trouva pour les deux stations une différence de hauteur moyenne de 54″ 6. La différence entre cette valeur et la différence de latitude mesurée (42″ 9), soit 11″ 7, fut attribuée à la déviation de la verticale causée par la montagne. Le géologue écossais James Hutton (1726–1797), l'un des fondateurs de la géologie moderne, ainsi que le physicien britannique Sir Henry Cavendish (1731-1810) participèrent aux calculs, qui donnèrent le résultat
Isostasie et limites de la méthode de déviation de la verticale
modifierLes expériences au fil à plomb montrèrent qu'il n'est guère possible de déterminer la masse de la Terre à mieux de 10 % près par la méthode de la déflexion de la verticale. La raison en réside surtout dans une certaine compensation des effets d'attraction des montagnes par un mécanisme appelé « isostasie ». En répétant en 1849 l'expérience de Pierre Bouguer dans les Pyrénées, Petit se rendait compte que tout se passait comme si les Pyrénées repoussaient un peu le fil à plomb au lieu de l'attirer. En particulier, Petit calcula l'influence de la chaîne des Pyrénées sur la direction du fil à plomb à Toulouse et trouva que la valeur observée était très inférieure à la valeur théorique. En fait, on se rendit vite compte que cette constatation s'appliquait de façon quasi-générale et que l'attraction des montagnes était plus petite que les valeurs qu'on calculait en supposant que la matière sous-jacente avait une densité normale. Le mont Schiehallion et l'Arthur's Seat constituent des exceptions notables, sans doute à cause de leurs étendues limitées qui ne permettent guère la compensation isostatique.
L'histoire de ce concept géodésique important qu'est l'isostasie est exposée avec plus de détails dans l'article correspondant. Pour le moment, revenons-en à la détermination de la masse de la Terre et à la méthode pendulaire inventée par Pierre Bouguer à cet effet.
Masse de la Terre et mesures au pendule
modifierFormule de Bouguer
modifierConsidérons l'intensité de la pesanteur g(P) en un point P situé à une distance r du centre de masse de la Terre, ainsi que l'intensité de la pesanteur g(Q) en un autre point Q situé à une distance r' de ce même centre de masse. Notons par h la différence d'altitude entre Q et P, de sorte que h > 0 si Q est à une altitude plus élevée que P, et h < 0 dans le cas contraire.
Bouguer a montré que pour des mesures effectuées à la surface terrestre, on a sensiblement :
- ,
R étant le rayon moyen de la Terre. C'est la célèbre formule de Bouguer. Le deuxième terme, qui commence avec le signe moins, représente la variation de l'intensité de la pesanteur produite par une variation d'altitude, sans tenir compte de la contribution des couches situées entre l'altitude de P et l'altitude de Q. On appelle cet effet la correction à l'air libre, ou la correction de Faye, pour honorer l'astronome Hervé Faye (1814–1902) qui en a fait grand usage. Le troisième terme correspond à l'attraction d'un plateau de densité uniforme
On voit ainsi que la densité moyenne
Sachant que pour une période fixée, en l'occurrence une seconde, l'intensité locale de la pesanteur est proportionnelle à la longueur du pendule, et en admettant que la situation géographique de Quito corresponde à celle d'un haut-plateau, la relation empirique trouvée par Bouguer fut
Expériences au pendule au cours du XIXe siècle
modifierBeaucoup plus tard, en 1821, F. Carlini trouva, au moyen de mesures pendulaires effectuées dans la région de Milan, la valeur
D'autre part, G.B. Airy tenta de déterminer
Expérience de Cavendish
modifierNewton lui-même avait suggéré deux méthodes pour déterminer la masse de la Terre. Celle consistant à se servir de l'attraction d'une montagne ne peut guère fournir de résultats précis, à cause du phénomène d'isostasie. L'autre méthode envisagée par Newton consistait à déterminer directement la constante de gravitation G.
Vers la fin du XVIIIe siècle, John Michell ouvrit la voie à une telle mesure directe de G au laboratoire, évitant les incertitudes attachées aux estimations de l'effet de grandes entités géologiques comme celles impliquées dans les expériences de déviations de la verticale provoquées par des montagnes ou dans les mesures de différences de la pesanteur entre le sommet et le fond d'une mine. Michell construisit une balance de torsion afin de mesurer directement la force d'attraction F s'exerçant entre deux sphères pleines de masses m1 et m2. Si d désigne la distance entre les centres de masse respectifs de ces sphères, la loi d'attraction universelle de Newton requiert que F = G m1m2/d2. En mesurant F, m1, m2 et d, on obtient G. L'appareil de Michell comprenait une barre horizontale AB, de centre C, d'une longueur de 6 pieds, suspendue à un point fixe O au moyen d'un fil vertical OC dont la longueur est de 40 pouces (environ 102 cm). Des sphères de plomb de 2 pouces de diamètre, donc de masse m1 valant[e](4
John Michell mourut en 1793, avant d'avoir pu se servir de son appareil pour déterminer la constante de gravitation. Celui-ci passa d'abord à W. H. Wollaston, qui n'en fit rien, mais le confia peu de temps après à Henry Cavendish (1731–1810). Celui-ci y apporta quelques améliorations tout en lui conservant pour l'essentiel la configuration imaginée par Michell. Il isola l'appareil des courants d'air qui pouvaient perturber les mesures, et il ajouta un télescope pour observer les déflexions. Sa célèbre détermination de G fut publiée en 1798. En prenant la moyenne des résultats de 29 ensembles de mesures corrigées de divers effets (et en éliminant une erreur arithmétique signalée plus tard par Bailey), la valeur de G déterminée par Cavendish fournit <
De nombreuses autres mesures de G ont suivi celle effectuée par Cavendish, mais beaucoup n'ont plus qu'un intérêt historique. Ainsi, F. Reich fit des déterminations de G avec un appareil fort semblable à celui employé par Cavendish. Convertis en valeurs de la densité moyenne de la Terre, les résultats qu'il obtint sont
Les valeurs de G comptant actuellement parmi les meilleures ont été fournies en 1930 par l'expérience de Paul R. Heyl (
Notes et références
modifierNotes
modifier- La température élevée a pour conséquence qu'une fraction importante des molécules ont une vitesse supérieure à la vitesse de libération, et échappent donc à l'attraction terrestre.
- Historiquement, il s'agissait de la Lune, unique satellite naturel de la Terre. Comme la trajectoire de son mouvement orbital autour de la Terre est loin de représenter une ellipse képlérienne toute simple et que la masse de la Lune n'est pas négligeable vis-à-vis de celle de la Terre (elle en représente environ 1/81), il n'est guère possible d'en déduire la valeur de GM avec une grande précision. Les choses ont grandement changé avec l'apparition des satellites artificiels depuis 1957.
- Une toise vaut 864 lignes et correspond à 1,949 m. Un mètre vaut donc environ 443,3 lignes, et une ligne vaut ainsi 2,256 mm.
- C'est-à-dire même en l'absence de friction,
- La densité du plomb est 11,34 fois celle de l'eau.
Références
modifier- (en) « Selected Astronomical Constants », dans United States Naval Observatory et HM Nautical Almanac Office, Astronomical Almanac (en) for the Year 2014, Washington et Taunton, United States Government Printing Office et Institut hydrographique du Royaume-Uni, (ISBN 978-0-7077-41420, ISSN 0737-6421, OCLC 828247027), K6-K7.
- (en) Andrea Donini, Sergio Palomares-Ruiz et Jordi Salvado, « Neutrino tomography of Earth », Nature Physics, (DOI 10.1038/s41567-018-0319-1).
- (en) « Sun: Facts & Figures »
- (en) « Jupiter: Facts & Figures »
- (en) « Earth's Moon: Facts & Figures »
- (en) Kevin E. Trenberth et Lesley Smith, « The Mass of the Atmosphere: A Constraint on Global Analysis », Journal of Climate, vol. 18, no 6, , p. 864-875 (DOI 10.1175/JCLI-3299.1).
- (en) Christoph Leinert et Eberhard Grün, « Interplanetary dust », dans Rainer Schwenn et Eckart Marsch (éd.), Physics of the Inner Heliosphere, t. I : Large-Scale Phenomena, Berlin, Springer, coll. « Physics and Chemistry in Space » (no 20), (ISBN 978-3-642-75361-9, OCLC 851828612), p. 207-275.
- (en) Stephan J. Kortenkamp et Stanley F. Dermott, « Accretion of interplanetary dust particle by the Earth », Icarus, vol. 135, no 2, , p. 469-495 (DOI 10.1006/icar.1998.5994, Bibcode 1998Icar..135..469K).
- Cornelis de Jager, « Les étoiles les plus lumineuses », La Vie des sciences, vol. 7, no 1, , p. 1-12 (lire en ligne [PDF], consulté le ).
Voir aussi
modifierBibliographie
modifier- (en) K. E. Bullen, The Earth's Density, Londres, Chapman and Hall, 1975. (ISBN 0-412-10860-7)