Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d'espaces vectoriels emboîtés, appelés « classe C^k par morceaux » et notés C^k
_I.

Sur la droite réelle

Cette fonction n'est pas continue sur ℝ. En revanche, elle y est continue par morceaux.

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision σしぐま : a = a₀ < … < a_n = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]a_i, a_{i + 1}[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [a_i, a_{i + 1}].

Toute fonction continue sur un segment étant réglée, les fonctions continues par morceaux sur [a, b] le sont également.

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]a_i,a_i+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque a_i' (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point a_i lui-même).

On définit de même les fonctions de classe C^k par morceaux, linéaires par morceaux, etc. On notera qu'une fonction de classe C¹ par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en a_i', mais qu'elle et sa dérivée admettent des limites finies à droite et à gauche en a_i.

Cette notion s'étend naturellement pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque : une fonction est dite continue (ou autre propriété) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

En dimension supérieure

Soient Ωおめが un ouvert borné de ℝⁿ et Ωおめが son adhérence.

Pour simplifier, supposons que Ωおめが est un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence est valable pour toute fonction suffisamment lisse sur ℝⁿ).

Alors :

• une fonction f de Ωおめが dans ℝ est continue par morceaux — noté C⁰
  _I(Ωおめが) — s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ωおめが_i tels que ${\overline {\Omega }}=\cup _{i}{\overline {\Omega _{i}}}$ et que la restriction de f à chacun des Ωおめが_i admette un prolongement continu à ℝⁿ ;
• une fonction f de Ωおめが dans ℝ est de classe C^k par morceaux — noté C^k
  _I(Ωおめが) — si elle est de classe C^k–1 et s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ωおめが_i tels que ${\overline {\Omega }}=\cup _{i}{\overline {\Omega _{i}}}$ et que la restriction de f à chacun des Ωおめが_i soit de classe C^k(Ωおめが_i).

Domaines d'application

La régularité par morceaux est utilisée pour démontrer les résultats importants de certaines théories simplifiées de l'intégration, et leurs applications, comme l'analyse par séries de Fourier.

Voir aussi

• Fonction affine par morceaux
• Application linéaire par morceaux