Ensemble Fσ
Apparence
En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble F
La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le
Propriétés
[modifier | modifier le code]- L'union dénombrable d'ensembles F
σ est un ensemble Fσ et l'intersection finie d'ensembles Fσ est un ensemble Fσ .
- Le complémentaire d'un ensemble F
σ est un ensemble Gδ [1].
Exemples
[modifier | modifier le code]- Chaque ensemble fermé est un ensemble F
σ .
- L'ensemble des rationnels est un ensemble F
σ dans l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble des irrationnels n'est pas un ensemble Fσ dans l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle.
- Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble F
σ [2].
- Dans un espace T1, chaque ensemble dénombrable est un F
σ car un point constitue un ensemble fermé.
- L'ensemble de tous les points du plan cartésien tels que est rationnel est un ensemble F
σ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :
- où est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Ensemble G
δ — la notion duale d'un ensemble Fσ - Hiérarchie de Borel
- P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble F
σ est fermé
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Real Analysis : Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, , 424 p. (ISBN 978-1-4008-3556-0, lire en ligne), p. 23
- (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-29587-7, lire en ligne), p. 138