Nombre d'Euclide
En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme , où est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des premiers nombres premiers[1]. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.
Propriété fondamentale
[modifier | modifier le code]D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, est divisible par un nombre premier qui est forcément strictement supérieur à , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers n'est pas finie.
Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des premiers nombres premiers[2].
Décomposition des nombres d'Euclide
[modifier | modifier le code]Les six premiers nombres d'Euclide[3] : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés[5].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Le produit vide p0# est égal à 1.
- (en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, no 4, , p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).
- Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.
- Voir les suites
A018239,
A005234 et
A014545 de l'OEIS.
- (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.