Srinivasa Ramanujan à l'origine de l'idée des nombres taxicab.En mathématiques , le n ième nombre taxicab , ou nombre de Hardy–Ramanujan , noté Ta(n ) ou Taxicab(n ), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1938[ 1] entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment construire le plus petit.
Godfrey Harold Hardy , mathématicien britannique de la première moitié du XX e Srinivasa Ramanujan [ 2]
« Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney . J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
En effet,
9
3
+
10
3
=
1
3
+
12
3
=
1729
{\displaystyle 9^{3}+10^{3}=1^{3}+12^{3}=1729}
« donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels » [ 3]
Pour cette raison, on définit parfois un nombre taxicab comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes. D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :
4104
=
2
3
+
16
3
=
9
3
+
15
3
20683
=
10
3
+
27
3
=
19
3
+
24
3
39312
=
2
3
+
34
3
=
15
3
+
33
3
40033
=
9
3
+
34
3
=
16
3
+
33
3
{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}4104&=&2^{3}&+&16^{3}&=&9^{3}&+&15^{3}\\20683&=&10^{3}&+&27^{3}&=&19^{3}&+&24^{3}\\39312&=&2^{3}&+&34^{3}&=&15^{3}&+&33^{3}\\40033&=&9^{3}&+&34^{3}&=&16^{3}&+&33^{3}\end{array}}}
Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657, et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé :
158
4
+
59
4
=
133
4
+
134
4
=
635318657.
{\displaystyle 158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}=635318657.}
nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs.
Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 [ 4] ordinateurs ; John Leech obtint Ta(3) en 1957 [ 5] , [ 4] 1991 [ 6] , [ 4] 1999 [ 7] , [ 4]
Ta(6)[ 8] , [ 9] [ 10]
Le premier nombre taxicab correspond au plus petit entier décomposable en une unique somme de deux cubes entiers positifs non nuls, à l'ordre des opérandes près. Il s'agit de l'entier 2, représenté par l'équation diophantienne [ 11] , [ 4]
Ta
(
1
)
=
2
=
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}
Les cinq nombres taxicab suivants sont[ 4]
Ta
(
2
)
=
1729
=
1
3
+
12
3
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
3
)
=
87539319
=
167
3
+
436
3
=
228
3
+
423
3
=
255
3
+
414
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
4
)
=
6963472309248
=
2421
3
+
19083
3
=
5436
3
+
18948
3
=
10200
3
+
18072
3
=
13322
3
+
16630
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
5
)
=
48988659276962496
=
38787
3
+
365757
3
=
107839
3
+
362753
3
=
205292
3
+
342952
3
=
221424
3
+
336588
3
=
231518
3
+
331954
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
6
)
=
24153319581254312065344
=
582162
3
+
28906206
3
=
3064173
3
+
28894803
3
=
8519281
3
+
28657487
3
=
16218068
3
+
27093208
3
=
17492496
3
+
26590452
3
=
18289922
3
+
26224366
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}
De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab . L'entier
Ta
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
Ta
(
n
)
≤
m
{\displaystyle \operatorname {Ta} (n)\leq m}
2008 [ 12]
Ta
(
7
)
≤
24885189317885898975235988544
=
2648660966
3
+
1847282122
3
=
2685635652
3
+
1766742096
3
=
2736414008
3
+
1638024868
3
=
2894406187
3
+
860447381
3
=
2915734948
3
+
459531128
3
=
2918375103
3
+
309481473
3
=
2919526806
3
+
58798362
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=&2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=&2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
8
)
≤
50974398750539071400590819921724352
=
299512063576
3
+
288873662876
3
=
336379942682
3
+
234604829494
3
=
341075727804
3
+
224376246192
3
=
347524579016
3
+
208029158236
3
=
367589585749
3
+
109276817387
3
=
370298338396
3
+
58360453256
3
=
370633638081
3
+
39304147071
3
=
370779904362
3
+
7467391974
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=&336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=&370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
9
)
≤
136897813798023990395783317207361432493888
=
41632176837064
3
+
40153439139764
3
=
46756812032798
3
+
32610071299666
3
=
47409526164756
3
+
31188298220688
3
=
48305916483224
3
+
28916052994804
3
=
51094952419111
3
+
15189477616793
3
=
51471469037044
3
+
8112103002584
3
=
51518075693259
3
+
5463276442869
3
=
51530042142656
3
+
4076877805588
3
=
51538406706318
3
+
1037967484386
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=&51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=&51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
10
)
≤
7335345315241855602572782233444632535674275447104
=
15695330667573128
3
+
15137846555691028
3
=
17627318136364846
3
+
12293996879974082
3
=
17873391364113012
3
+
11757988429199376
3
=
18211330514175448
3
+
10901351979041108
3
=
19262797062004847
3
+
5726433061530961
3
=
19404743826965588
3
+
3058262831974168
3
=
19422314536358643
3
+
2059655218961613
3
=
19426825887781312
3
+
1536982932706676
3
=
19429379778270560
3
+
904069333568884
3
=
19429979328281886
3
+
391313741613522
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
11
)
≤
2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632
=
11410505395325664056
3
+
11005214445987377356
3
=
12815060285137243042
3
+
8937735731741157614
3
=
12993955521710159724
3
+
8548057588027946352
3
=
13239637283805550696
3
+
7925282888762885516
3
=
13600192974314732786
3
+
6716379921779399326
3
=
14004053464077523769
3
+
4163116835733008647
3
=
14107248762203982476
3
+
2223357078845220136
3
=
14120022667932733461
3
+
1497369344185092651
3
=
14123302420417013824
3
+
1117386592077753452
3
=
14125159098802697120
3
+
657258405504578668
3
=
14125594971660931122
3
+
284485090153030494
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
12
)
≤
73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152
=
33900611529512547910376
3
+
32696492119028498124676
3
=
38073544107142749077782
3
+
26554012859002979271194
3
=
38605041855000884540004
3
+
25396279094031028611792
3
=
39334962370186291117816
3
+
23546015462514532868036
3
=
40406173326689071107206
3
+
19954364747606595397546
3
=
41606042841774323117699
3
+
12368620118962768690237
3
=
41912636072508031936196
3
+
6605593881249149024056
3
=
41950587346428151112631
3
+
4448684321573910266121
3
=
41960331491058948071104
3
+
3319755565063005505892
3
=
41965847682542813143520
3
+
1952714722754103222628
3
=
41965889731136229476526
3
+
1933097542618122241026
3
=
41967142660804626363462
3
+
845205202844653597674
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=&41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{matrix}}}
Des bornes supérieures de
Ta
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (n)}
n
{\displaystyle n}
[ 13]
Ta
(
13
)
≤
10
65
{\displaystyle \operatorname {Ta} (13)\leq 10^{65}}
Ta
(
14
)
≤
10
73
{\displaystyle \operatorname {Ta} (14)\leq 10^{73}}
Ta
(
15
)
≤
10
81
{\displaystyle \operatorname {Ta} (15)\leq 10^{81}}
Ta
(
16
)
≤
10
91
{\displaystyle \operatorname {Ta} (16)\leq 10^{91}}
Ta
(
17
)
≤
10
102
{\displaystyle \operatorname {Ta} (17)\leq 10^{102}}
Ta
(
18
)
≤
10
113
{\displaystyle \operatorname {Ta} (18)\leq 10^{113}}
Ta
(
19
)
≤
10
123
{\displaystyle \operatorname {Ta} (19)\leq 10^{123}}
Ta
(
20
)
≤
10
133
{\displaystyle \operatorname {Ta} (20)\leq 10^{133}}
Ta
(
21
)
≤
10
147
{\displaystyle \operatorname {Ta} (21)\leq 10^{147}}
Ta
(
22
)
≤
10
160
{\displaystyle \operatorname {Ta} (22)\leq 10^{160}}
↑ (en) G. H. Hardy et E. M. Wright , An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions ] Thm. 412 .↑ (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson , « Quotations by G H Hardy MacTutor université de St Andrews ↑ (en) G. H. Hardy, « Obituary Notices: Srinivasa Ramanujan », Proc. London Math. Soc. vol. 19, 1921 , xl-lviii (lire en ligne ) p. lvii).↑ a b c d e et f (en) G. Everest et Thomas Ward, An Introduction to Number Theory , Londres, Springer Science+Business Media , coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2005 , 294 p. (ISBN 978-1-85233-917-3 1852339179 lire en ligne ) , p. 117-118↑ (en) J. Leech , « Some Solutions of Diophantine Equations », Proc. Cambridge Phil. Soc. vol. 53, 1957 , p. 778-780↑ (en) E. Rosenstiel , J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel , « The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 », Bull. Inst. Math. Appl. vol. 27, no 7, 1991 , p. 155-157 (MR 92i:11134 lire en ligne , consulté le 14 décembre 2009 ) ↑ (en) David W. Wilson , « The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496 », Journal of Integer Sequences vol. 2, 1999 (lire en ligne ) ↑ Message électronique de Randall L. Rathbun en 2002 .↑ (en) C. S. Calude , E. Calude et M. J. Dinneen , « What is the value of Taxicab(6)? », Journal of Universal Computer Science vol. 9, 2003 , p. 1196-1203↑ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) .↑ Marc Laforest et André Ross, « Srinivâsâ Râmânujan Accromα あるふぁ , Institut des sciences mathématiques (université du Québec à Montréal ), 2012 (consulté le 10 janvier 2019 ) ↑ (en) Christian Boyer, « New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers », Journal of Integer Sequences vol. 11, 2008 , article no 08.1.6 (lire en ligne ) ↑ (en) « New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers 24 mars 2011 (consulté le 29 mars 2017 ) 
A011541 de l'OEIS