Soit Ω un domaine borné de Cn, avec une frontière C2, et soit A(Ω) l'ensemble des fonctions holomorphes dans Ω qui sont continues sur Ω. Définissons l'espace de HardyH2(∂Ω) comme la fermeture, dans L2(∂Ω) des restrictions des éléments de A(Ω) à la frontière. L'intégrale de Poisson implique que chaque élément ƒ de H2(∂Ω) s'étend en une fonction holomorphe P ƒ dans Ω. De plus, pour chaque z ∈ Ω, l'application
Comme son cousin voisin, le noyau de Bergman, le noyau de Szegő est holomorphe en z. En fait, si φi est une base orthonormée de H2(∂Ω) constituée entièrement des restrictions de fonctions dans A(Ω), alors une application du théorème de Riesz-Fischer montre que