Théorème d'Itō-Nisio

Le théorème d'Itō-Nisio est un théorème mathématique de probabilité qui caractérise la convergence dans les espaces de Banach. Il montre l'équivalence des types de convergence pour les sommes de variables aléatoires indépendantes et symétriques dans les espaces de Banach. Le théorème conduit à une généralisation de la construction de Wiener du mouvement brownien et donc à une nouvelle définition du mouvement brownien.

Le théorème a été prouvé en 1968 par les mathématiciens japonais Kiyoshi Itō et Makiko Nisio.

Théorème de Itō-Nisio

Préparation

Soit $(E,\|\cdot \|)$ un séparable espace de Banach sur $\mathbb {R}$ tel que la norme induit une topologie et $E^{*}$ son espace dual.

Avec $X:\Omega \to E$, on définit une $E$-variable aléatoire, c'est-à-dire une variable aléatoire à valeur de Banach. Avec $\langle z,S\rangle :={}_{E^{*}}\langle z,S\rangle _{E}$ on note le paire duale.

Théorème

Soit $X_{1},\dots ,X_{n}$ des $E$-variables aléatoires indépendants et symétriques sur le même espace de probabilité. Soit $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{n}$ leur somme et $\mu _{n}$ la mesure de probabilité de $S_{n}$. De plus, soit $S$ une $E$-variable aléatoire. Alors les énoncés suivants sont équivalents :

1. $S_{n}\to S$ presque sûrement.
2. $S_{n}\to S$ en probabilité.
3. $\mu _{n}$ converge dans la métrique de Prokhorov.
4. $\{\mu _{n}\}$ sont tendu.
5. $\langle z,S_{n}\rangle \to \langle z,S\rangle$ en probabilité pour chaque $z\in E^{*}$.
6. Il existe une mesure de probabilité $\mu$ sur $E$ telle que pour tout $z\in E^{*}$

$\mathbb {E} [{\rm {e}}^{{\rm {i}}\langle z,S_{n}\rangle }]\to \int _{E}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\langle z,x\rangle }\mu (\mathrm {d} x).$

Bibliographie

• Kiyosi Itō et Makiko Nisio, « On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables », Osaka Journal of Mathematics, Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics, vol. 5, n^o 1,‎ 1968, p. 35–48 (lire en ligne)
• Nobuyuki Ikeda et Setsuo Taniguchi, « The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons », Stochastic Processes and their applications, vol. 120, n^o 5,‎ 2010, p. 605–621 (DOI 10.1016/j.spa.2010.01.009, lire en ligne)