Catenaria

Este artigo trata sobre as matemáticas, para o tendido eléctrico dos trens e tranvías vexa Catenaria (ferrocarril).

Chámase catenaria á curva que describe un fío (calquera corpo longo e flexíbel: corda, cadea, cabo) suspendido polos seus extremos e baixo a acción do seu propio peso. A palabra catenaria deriva do latín catenarĭus, que significa propio da cadea.

En matemáticas chámase catenaria a curva que adopta unha cadea ideal perfectamente flexíbel, con masa, suspendida polos seus extremos e sometida á acción dun campo gravitatorio uniforme. A involuta da catenaria é a tractriz.

Diferentes catenarias para distintos valores do parámetro a

Se o peso propio por unidade de lonxitude é p, e a tensión é T, nun elemento diferencial de lonxitude en equilibrio:

${\vec {T}}+{\vec {p}}dl={\vec {T}}+d{\vec {T}}$

partindo desta expresión e utilizando un sistema de coordenadas no que a é a ordenada do punto máis baixo da curva, chégase á expresión:

$y=a\cdot \cosh(x/a).$

chamada ecuación da catenaria.

O valor de a:

$a=\left({\frac {T_{o}}{P}}\right).$

Onde $T_{o}$ é a compoñente horizontal da tensión, que é constante e coincide coa tensión total no punto mais baixo da curva e p é o peso por unidade de lonxitude. A súa ecuación foi obtida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens e Johann Bernoulli en 1691, en resposta ao desafío de Jakob Bernoulli. Huygens foi o primeiro en utilizar o termo catenaria nunha carta dirixida a Leibniz en 1690, e David Gregory escribiu, ese mesmo ano, un tratado sobre esta curva.

Véxase tamén

As columnas da Sagrada Familia de Barcelona seguen unha catenaria.

Outros artigos

• Función hiperbólica
• Coseno hiperbólico
• Catenoide
• Catenaria (ferrocarril)

Ligazóns externas

• A curva catenaria (en castelán)
• Índice de curvas famosas (en inglés)