Translación (xeometría)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/Traslazione_OK.svg/220px-Traslazione_OK.svg.png)
Na xeometría euclidiana, unha translación é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría.
Como función
[editar | editar a fonte]Se é un vector fixo, coñecido como vector de translación, e é a posición inicial dalgún obxecto, a función de translación será .
Aplicación na física clásica
[editar | editar a fonte]Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se complementa coa rotación que dá un desprazamento angular.
Para trasladar un obxecto séguese a fórmula
onde é o mesmo vector para cada punto do obxecto.
Como grupo
[editar | editar a fonte]O conxunto de todas as translacións forma o grupo de translación , que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano . O grupo cociente de por é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal :
Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.
Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.
Grupos de retículas
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Retícula (grupo).
Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación , xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo.
Representación matricial
[editar | editar a fonte]Unha translación é unha transformación afín sen puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen sempre a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional utilizando 4 coordenadas homoxéneas como . [1]
Para mover un obxecto por un vector , cada vector homoxéneo pódese multiplicar por esta matriz de translación:
E a multiplicación dará o resultado esperado:
A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector:
Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores:
Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias).
Translación de eixes
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Translación de eixes.
Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes.
Simetría de translación
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Simetría de translación.
Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación.
Translacións dunha gráfica
[editar | editar a fonte]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Translated_graph_of_a_function.png/220px-Translated_graph_of_a_function.png)
Partindo da gráfica de f, unha translación horizontal significa compoñer f cunha función , para algún número constante a, o que resulta nunha gráfica formada por puntos . Cada da gráfica orixinal corresponde ao punto no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.
Igualmente temos unha translación vertical para a variábel y, coa función .
Por exemplo, tomando a función cadrática , cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en , unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función cuxo vértice está en . Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función con vértice en .
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Richard Paul, 1981, Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, MIT Press, Cambridge, MA
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Translación ![]() |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450.
- Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, xaneiro 1). BioMath: Transformation of Graphs.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Translation Transform en cut-the-knot
- Geometric Translation (Interactive Animation) en Math Is Fun
- Understanding 2D Translation e máis Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.