משוואה ממעלה שישית
משוואה ממעלה שישית היא פולינום ממעלה שישית באגף ואחד ואפס באגף השני. ליתר דיוק, המשוואה מוצגת באופן הבא:
כאשר ≠ והמקדמים יכולים להיות מספרים שלמים, מספרים רציונליים, מספרים ממשיים, מספרי מרוכבים או, באופן כללי יותר, בני כל שדה.
פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שישית. משום שיש להן מעלה זוגית, פונקציה ממעלה שישית דומה לפונקציה ממעלה רביעית מבחינה גרפית. עם זאת, לפונקציה ממעלה שישית עשויים להיות נקודות קיצון מקומיות נוספות. נגזרת של פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה ממעלה חמישית.
מאחר שפונקציה ממעלה שישית על ידי פולינום ממעלה זוגית, יש לה את אותו הגבול כאשר הארגומנט הולך לאינסוף חיובי או שלילי. אם המקדם המוביל a הוא חיובי, אז הפונקציה עולה לפלוס אינסוף משני הצדדים ולכן לפונקציה יש מינימום גלובלי. כמו כן, אם a שלילי, הפונקציה יורדת עד מינוס אינסוף משני הצדדים ולכן יש לה מקסימום גלובלי.
פתרון
כמה משוואות ממעלה שישית, כמו ניתנות לפתרון על ידי פירוק לרדיקלים, אבל משוואות אחרות לא ניתנות לפתרון. אווריסט גלואה פיתח טכניקות לקביעה האם משוואה נתונה ניתנת לפתרון על ידי רדיקלים, אשר הולידה את תורת גלואה[1].
מתורת גלואה נובע כי משוואה ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של רדיקלים, אם ורק אם חבורת הגלואה שלה נמצאת בחבורה מסדר 48, המייצבת חלוקה של קבוצת השורשים לשלוש קבוצות משנה של שני שורשים, או חבורה מסדר 72 המייצבת חלוקה של מערכת השורשים לשתי תת-קבוצות של שלושה שורשים.
קיימות נוסחאות כדי לבדוק כל מקרה, ולחשב את השורשים, אם המשוואה ניתנת לפתרון. [2]
משוואה כללית ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של פונקציות קמפה דה פרייט.[1] ישנן משוואות ממעלה שישית הניתנות לפתרון על ידי פונקציה היפרגאומטרית כללית במשתנה אחד, באמצעות הגישה של פליקס קליין לפתרון משוואה ממעלה חמישית[1].
דוגמאות
העיקול של וואט, שעלה עם העבודה הראשונית על מנוע הקיטור, הוא משוואה ממעלה שישית עם שני משתנים.
אחת השיטות לפתרון משוואה מעוקבת כוללת שינוי במשתנים כדי להשיג משוואה ממעלה שישית, שמשתניה ממעלות 6, 3 ו -0 בלבד, אשר ניתן לפתור כמשוואת ריבועית בקוביה של המשתנה.