חיתוך (מתמטיקה)
מראה
בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- ששייכים גם ל- (או באופן שקול, כל האיברים ב- ששייכים גם ל-), ורק אותם. החיתוך של ו- נכתב בדרך כלל כך: .
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/250px-Venn_A_intersect_B.svg.png)
מבחינה פורמלית:
חיתוך כלשהו
[עריכת קוד מקור | עריכה]בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס השייך לקבוצת אינדקסים ), אז החיתוך שלהן יסומן , והגדרתו היא ש- אם ורק אם לכל מתקיים .
אם קבוצת האינדקסים ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון , ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב כולו.
דוגמאות
[עריכת קוד מקור | עריכה]- אם אז
- אם ( הוא קבוצה חלקית של ) אז .
- אם (קבוצה ריקה) אז לכל מתקיים . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
- אם אז .
- בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס כלשהו.
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות , אז הקבוצה היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
- (שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות , ומסומנות ו-).
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |