מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה ) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הנקרא על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ .
הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות:
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'g+fg'}
לכל שתי פונקציות
f
,
g
{\displaystyle f,g}
, או בסימוני לייבניץ:
d
(
u
v
)
d
x
=
d
u
d
x
v
+
u
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}}
מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים :
∫
u
v
′
d
x
=
u
v
−
∫
u
′
v
d
x
{\displaystyle \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx}
ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:
(
f
⋅
g
)
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
+
f
(
x
)
[
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
]
h
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
+
lim
h
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}(f\cdot g)'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h){\bigl [}f(x+h)-f(x){\bigr ]}+f(x){\bigl [}g(x+h)-g(x){\bigr ]}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f'\!(x)g(x)+f(x)g'\!(x)\end{aligned}}}
לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי :
לכל שתי פונקציות חיוביות
f
,
g
{\displaystyle f,g}
מתקיים
ln
(
f
⋅
g
)
=
ln
(
f
)
+
ln
(
g
)
{\displaystyle \ln(f\cdot g)=\ln(f)+\ln(g)}
.
אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:
(
f
⋅
g
)
′
f
g
=
f
′
f
+
g
′
g
{\displaystyle {\frac {(f\cdot g)'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}
לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-
n
{\displaystyle n}
-ית:
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}}
כאשר
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
הוא המקדם הבינומי . הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון :
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k\,=\,0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}
הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה , ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.
ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:
(
u
v
w
)
′
=
u
′
v
w
+
u
v
′
w
+
u
v
w
′
{\displaystyle (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'}
(
u
v
w
z
)
′
=
u
′
v
w
z
+
u
v
′
w
z
+
u
v
w
′
z
+
u
v
w
z
′
{\displaystyle (uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'}
באופן כללי, אם הפונקציה היא
f
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
f
i
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\prod _{i\,=\,1}^{n}f_{i}(x)}
הנגזרת היא:
f
′
=
∑
i
=
1
n
f
i
′
∏
k
=
1
k
≠
i
n
f
k
{\displaystyle f'=\sum _{i\,=\,1}^{n}f_{i}'\prod _{k\,=\,1 \atop k\,\neq \,i}^{n}f_{k}}
אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-
0
{\displaystyle 0}
, אפשר לכתוב זאת גם כך:
(
f
1
⋯
f
n
)
′
f
1
⋯
f
n
=
f
1
′
f
1
+
⋯
+
f
n
′
f
n
{\displaystyle {\frac {(f_{1}\cdots f_{n})'}{f_{1}\cdots f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\cdots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}}