משווה (מתמטיקה)

במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.

הגדרה

נניח כי $X$ ו-$Y$ הן שתי קבוצות, וכי $f$ ו-$g$ הן שתי פונקציות מ-$X$ ל-$Y$. המשווה של $f$ ו-$g$ מוגדר להיות קבוצת כל האיברים $x$ בהן $f$ שווה ל-$g$. באופן מפורש:

$\mathrm {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$.

בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מ-$X$ ל-$Y$. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם $F$ היא קבוצה של פונקציות מ-$X$ ל-$Y$, אז המשווה של איברי $F$ הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות ב-$F$ שוות. באופן פורמלי:

$\mathrm {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall {f}{\in }{\mathcal {F}}\;\forall {g}{\in }{\mathcal {F}}\;f(x)=g(x)\}$.

כמקרה טריוויאלי, אם $F$ מכילה פונקציה בודדת $f$, מאחר שלכל $x$ ב-$X$ מתקיים $f(x)=f(x)$ הרי ש-$Eq({\mathcal {F}})=X$.

בתורת הקטגוריות

משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.

בהקשר כללי זה, אם $X$ ו-$Y$ הם שני אובייקטים ו-$f$ ו-$g$ הם שני מורפיזמים מ-$X$ ל-$Y$, המשווה של $f$ ו-$g$ הוא אובייקט $E$ ומורפיזם $\,eq:E\rightarrow X$ כך ש $\,f\circ eq=g\circ eq$ וכך שבהינתן אובייקט $O$ ומורפיזם $\,m:O\rightarrow X$, אם $\,f\circ m=g\circ m$ אז קיים מורפיזם יחיד $\,u:O\rightarrow E$ כך ש $\,eq\circ u=m$, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משווה בוויקישיתוף

• משווה, באתר MathWorld (באנגלית)