Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s
i
a zapisujemo
ili
je funkcija od
Oznaku
uveo je Leonhard Euler.
Veličinu
nazivamo ulazna, a
izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.
Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika
gdje su
realni brojevi. Broj
naziva se koeficijentom smjera, a broj
zovemo odsječkom na osi
Ako je
linearna funkcija raste, a ako je
funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo
Tada je
(jer je
), tj.
što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za
Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu,
Tada je nagib funkcije na intervalu
određen kvocijentom
Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.
Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj
naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno,
gdje je
Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.
Pretpostavimo da imamo f-ju
Onda imamo točke
(uz
). Tada je nagib na intervalu
jednak
i tvrdnja je dokazana.
Isto tako je funkcija
pravac. Ako je
graf se uzdiže za
jediničnih vektora (jer je
), a ako je
graf se spušta za
jediničnih vektora (jer je
Slično, ako je
cijeli se graf pomiče za
udesno ako je
), a ulijevo za
ako je
Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.
Paralenost.
Neka imamo
Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je
Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija
su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi
Okomitost.
Pretpostavimo da su pravci
. Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima
I sada, rotiranjem svih (
) takvih trokuta za
dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi
Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je
Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi
ako i samo je
gdje su
pravci dobiveni redom translacijom pravaca
Analogno za
Lako se dokaže da za kut
između neka dva pravca
vrijedi
gdje su redom
nagibi pravaca
Linearna funkcija može biti zadana parametrima
nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.
Pretpostavimo opet da imamo pravac
i
dvije točke za koje je
Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo
što pišemo kao
[1]
Eksplicitni i implicitni oblik
Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika
a drugi općenito jednadžba
Segmenti oblik jednadžbe pravca
Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku:
Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za
dobivamo odsječak (segment) na osi
i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka
[2]
Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable
za koju je
Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je
- ↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 1, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.
- ↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 3, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.