A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix, mely az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben is megjelenik.
Legyen
az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező differenciálható függvény. (Ha n = m, akkor f egy vektormezőt határoz meg.) Ekkor a vektorértékű
függvény egyes komponensei:
,
azaz
,
ahol f1, f2, ... , fm koordinátafüggvények skalár-értékű n-változós függvények, azaz
(i = 1, 2, ..., m).
Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:
.
Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak, melynek elemei maguk is skalár-értékű n-változós függvények.
Felírható még úgy is, hogy
,
ahol grad(.) a gradiensfüggvény.
Továbbá J egy
függvény mátrixos felírása:
, ahol J(a) egy konkrét számokat tartalmazó m×n-es mátrix lesz, ha egy adott a = (a1, a2, ... , an)
-beli pont koordinátáit behelyettesítjük J minden egyes (i, j) pozícióban lévő
parciális deriváltfüggvényébe:
.
A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.
A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott
pont körül abban az értelemben, hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:
.
Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény, mennyire simul rá f(x0)-ban a képhalmazát érintő hipersíkra.
A Jacobi-mátrix megjelenik az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben.
Legyen
a
képlettel megadott háromváltozós függvény.
Akkor
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2x+z\cdot \cos(x)\\0\end{array}}\right),\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989c01126fa0d3adfc9ebe0521b66727c10b8f0a)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2y\\z\cdot \cos(y)\end{array}}\right),\;\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eec5d504c20a5542edb310d0feffc4fc882fee0)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}\sin(x)\\2z+\sin(y)\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63eb7b8403839597978a0c78d258c8fb020848ca)
és így a függvény Jacobi-mátrixa
![{\displaystyle Df(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos(x)&2y&\sin(x)\\0&z\cdot \cos(y)&2z+\sin(y)\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3a6ea74494633a25e3d0daa3ff72b806d0983f)
Ha az összes f1, f2, ... , fm koordinátafüggvény lineáris, akkor J-ben az összes parciális derivált konstans, J egy közönséges mátrix, J(a) pedig nem függ a-tól.