Poincaré-féle követőfüggvény
Az absztrakt matematikában alapvetően a dinamikai rendszerek elméletében, Poincaré-féle követőfüggvény (vagy az első visszatérés függvénye) Henri Poincaré-ról elnevezett leképezés. Ha egy sokaságban egy periodikus pálya metszi a sokaság egy alterét, akkor ezt az alteret az első metszet helyéhez nagyon közel újból metszi. A következő helyet (a megelőző függvényében) nevezik a fenti leképezésnek. Másképpen képzeljünk el egy periodikus pályát azzal a kezdeti feltétellel, hogy a pont kezdetben egy a pályára merőleges síkon (az ún. Poincaré-féle metszeten) volt. Ekkor a pont egy idő múlva – a periódusidőhöz nagyon közeli idő alatt – a kiindulási ponthoz nagyon közel újból metszi a síkot.
A Poincaré-féle követőfüggvény diszkrét dinamikai rendszernek tekinthető, csak eggyel kevesebb dimenzióval rendelkezik, mint az őt definiáló folytonos rendszer volt. Mivel a diszkrét rendszer az eredeti nagyon sok tulajdonságát megőrzi, de egyszerűbb, ezért alkalmas az eredeti rendszer hatékony vizsgálatára. Általában azonban követőrendszert nem könnyű konstruálni kézzelfogható alakban, ezért a módszer csak ad hoc jellegű.
Definíció
[szerkesztés]Legyen (R, M,
Legyen U nyílt összefüggő környezete p-nek, a
függvényt
- P(p) = p
- P(U) p egy környezete és P:U → P(U) diffeomorfizmus
- minden x pontra U-ban, a pozitív félpálya először metszi S-et P(x)-ben
Differenciálegyenletek követőfüggvénye
[szerkesztés]A dinamikai rendszer mintapéldái a differenciálegyenletek megoldóoperátorai. Ezekben az esetekben a követőfüggvény még szemléletesebb tartalommal bír.
Legyen
autonóm közönséges differenciálegyenlet, x0 kezdeti feltétel a t=0-időponthoz. Legyen
Legyen a pályára merőleges Poincaré-metszet a
sík. Mivel f(x_0) a differenciálegyenlet értelmében sebességvektor az x0 pontban, ezért a
Tétel – Létezik x0-nak olyan U nyílt környezete, és létezik egyetlen olyan : U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Bizonyítás. Legyen
ekkor
Az implicitfüggvény-tétel segítségével kifejezzük a H(
ami feltehetően nem nulla.
Tehát létezik egyetlen, a mondott tulajdonságú
Definíció. – Ebben az esetben az differenciálegyenlethez és a
leképezés és az ebből alkotott diszkrét lokális dinamikai rendszer időfejlődése:
ahol a kitevőbeli n nem a hatványozás, hanem a
Stabilitás
[szerkesztés]A fenti leképezésből diszkrét dinamikai rendszert készíthetünk a következőképpen. Ha
a követőfüggvény, akkor legyen
és
Ebben az esetben (Z, U, P) diszkrét dinamikai rendszer U-ban, az időfejlődés
függvényével. Ebben a rendszerben p definíció szerint fixpont.
A
Külső hivatkozások
[szerkesztés]- Nicholas B. TUFILLARO, Poincaré Map (1997)
- Shivakumar JOLAD, Poincare Map and its application to 'Spinning Magnet' problem (2005)