Prímtényező
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bf/PrimeDecompositionExample.svg/200px-PrimeDecompositionExample.svg.png)
A számelméletben egy pozitív egész szám prímtényezőin vagy törzstényezőin a szám prímszám osztóinak összességét értjük.[1] Egy pozitív egész szám prímfelbontása: a szám prímtényezőinek listázása, annak figyelembevételével, hogy hányszor szerepelnek a szám osztói között. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám egyféleképpen bontható fel prímtényezők szorzatára.[2]
A prímtényezős felbontást a rövidség érdekében hatványformában szokás felírni. Például
melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők multiplicitása 3, 2 illetve 1.
A felbontást a szám kanonikus alakjának is nevezik (pl. ).
Egy n szám p prímtényezőjét tekintve p multiplicitása az a legnagyobb a kitevő, amire pa osztója n-nek.
Egy n pozitív egész számra a prímtényezők száma és a prímtényezők összege (a multiplicitást nem tekintve) olyan számelméleti függvények, melyek additívak, de nem totálisan additívak.[3]
Négyzetszámok
[szerkesztés]A négyzetszámok arról ismerhetőek meg, hogy minden prímtényezőjük páros multiplicitással rendelkezik. Például a 144 (a 12 négyzete) prímtényezői:
Ezeket átrendezve:
Mivel minden prímtényező páros számúszor jelenik meg, az eredeti szám kifejezhető valamely kisebb szám négyzeteként. Hasonlóan, a köbszámok prímtényezőinek multiplicitása a 3 többszöröse s.í.t.
Relatív prímek
[szerkesztés]A közös prímtényezővel nem rendelkező pozitív egész számokat relatív prímeknek (angolul: coprime) nevezik. Ha a és b pozitív egész számok relatív prímek, ha legnagyobb közös osztójuk lnko(a, b) = 1. Az euklideszi algoritmussal meghatározható, hogy két szám relatív prím-e prímtényezőik ismerete nélkül is; az algoritmus a számjegyek száma szerint polinomiális időben fut le.
Az 1 szám minden pozitív egésszel és önmagával is relatív prím. Ennek oka, hogy nincsenek prímtényezői, ő az üres szorzat. Tehát lnko(1, b) = 1 bármely b ≥ 1.
Kriptográfiai alkalmazásai
[szerkesztés]A számok prímfelbontása titkosítási rendszerek kriptográfiai biztonságának fontos részét képezi;[4] a probléma ismereteink szerint a polinomiálisnál hosszabb időt vesz igénybe; viszonylag könnyű olyan problémát megalkotni, aminek megoldása az univerzum életkoránál hosszabb időt venne igénybe jelenlegi algoritmusainkkal.
Omega-függvények
[szerkesztés]Az
- ,
akkor
- .
Például 24 = 23 × 31, így
ω (n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … (A001221 sorozat az OEIS-ben).Ω (n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … (A001222 sorozat az OEIS-ben).
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime factor című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]További információk
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Jensen, Gary R.. Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry. American Mathematical Society (2004)
- ↑ a b Riesel, Hans (1994), Prime numbers and computer methods for factorization, Basel, Switzerland: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
- ↑ Melvyn B. Nathanson. Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1996). ISBN 0-387-94656-X
- ↑ Menezes, Alfred, van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A.. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press (1996. október 1.). ISBN 0-8493-8523-7