1959-ig Sajószentpéteren játszott. Innen került Tatabányára, ahol 1969-ig szerepelt az első csapatban.
A magyar válogatottban 5 alkalommal szerepelt 1965 és 1966 között. Tagja a Tokióban olimpiai aranyérmet szerzett csapatnak. 1965-ben kétszer lépett pályára a címeres mezben. Bécsben, Ausztria ellen debütált (1-0), majd Budapesten Olaszország következett (2-1). Mindkét meccsen jobbhátvédet játszott. 1966-ban a világbajnokságon lépett újra pályára. Első csoport mérkőzésen Portugália ellen (1-3) Sóvári nem remekelt és Baróti Lajos hosszas gondolkodás után adott bizalmat Szepesinek a következő Brazília elleni mérkőzésen, eredeti posztján balhátvédként. A felejthetetlen játékkal 3-1-es győzelmet hozó mérkőzésen az egész csapat kiválóan játszott.
„
Szepesit látva nem hittünk a szemünknek. Úgy leradírozta Garrinchát, mintha a pályán sem lett volna!
”
– Népsport korabeli tudósítása
Az ezt követő két világbajnoki mérkőzésen is ő szerepelt: Bulgária (3-1), Szovjetunió (1-2). Ezt követően soha többet nem volt válogatott.
1967-ben súlyos térdsérülést szenvedett és két műtét után sem lett már olyan, mint azelőtt. Visszavonulása után 30 évesen Tatabányán a sportiskolában oktatott futballt. A gyerekek nagyon szerették, de a vezetők bizalmát nem élvezte. 37 évesen telepőr lett Nagyegyházán és teljesen elszakadt a labdarúgástól. 1987-ben fiatalon – 48 évesen – agyvérzés következtében hunyt el.
