Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini.
Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan.
Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan "[[" dan "]]" pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut). Mohon jangan memasang pranala pada kata yang sudah diketahui secara umum oleh para pembaca, seperti profesi, istilah geografi umum, dan perkakas sehari-hari.
Sunting bagian pembuka. Buat atau kembangkan bagian pembuka dari artikel ini.
Fisika, di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum; dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas (heat equation)
Teori sistem sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian.
Charles Hermite (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.
Hermite telah banyak berjasa, terutama dalam fungsi Abelian. Tidak hanya itu, Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya, seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas. Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar, teori aritmatika bentuk kuadrat, dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian.
Pada tahun 1848, Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique, Paris. Dan pada tahun 1869, Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale, Paris, serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870.
Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial
Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk
dengan menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa harus dibatasi secara polinomial di tak hingga.
Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah :
Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah
Dalam beberapa sumber lain, dituliskan dengan variabel , dan dituliskan dengan . Baik atau , keduanya sama-sama merupakan fungsi , dan atau merupakan bilangan cacah.
Dalam matematika , ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus . Dengan ekstensi, ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem. Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia.
dan adalah polinomial derajat ke-n untuk n = 0, 1, 2, 3,.... Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot / pemberat
Secara umum, berlaku ortogonalitas
di mana adalah delta Kronecker
Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.
Operator Hamiltonian, operator mekanika kuantum umum untuk energi, mencakup operator energi kinetik, , dan operator energi potensial,
Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut
Fungsi Gelombang untuk n = 0 sampai n = 8
Untuk suatu osilator sederhana diberikan oleh,
Sehingga persamaan Schrodinger menjadi
Misal suatu variable yang didefinisikan sebagai berikut
Sekarang kita tahu bahwa adalah fungsi di mana sendiri adalah fungsi
Fungsi Densitas Probabilitas untuk n = 0 sampai n = 7
Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya
dapat dinyatakan sebagai
Definisikan
Ketika jauh lebih besar dari ,
Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan supaya solusi tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika menuju tak hingga,
Tinjau suatu kasus di mana koefisien bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen ,
Substitusi kembali
Sehingga diperoleh
Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite. Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite,
Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu. Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik.
Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi,