Trinomio: differenze tra le versioni
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In [[algebra elementare]], un '''trinomio''' è un [[polinomio]] contenente tre termini; in
<math> 21ab+c+3b </math> oppure <math> 37xyz+4y^3+z </math>.
In algebra sono studiati particolari trinomi che hanno rilevanza nella [[fattorizzazione]]:
* Il ''[[trinomio caratteristico]]'': è un trinomio nella forma <math>x^2+sx+p</math>, con <math>s</math> e <math>p</math> [[Numero reale|numeri reali]] diversi da [[0 (numero)|zero]]. Esso può essere scomposto nella forma<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.17</ref>:
<math>(x-x_1)(x-x_2)</math>,
dove <math>x_1</math> e <math>x_2</math> sono due numeri reali tali che: <math>x_1+x_2=s</math> e <math>x_1x_2=p</math>.
Per esempio:
scomporre il trinomio <math>x^2+3x-4</math>; bisogna cercare due numeri <math>x_1</math> e <math>x_2</math> tali che la loro somma dia <math>+3</math> e il loro prodotto dia <math>-4</math>. I numeri cercati sono <math>+4</math> e <math>-1</math>; il trinomio pertanto si fattorizza in:
<math>x^2+3x-4=(x+4)(x-1)</math>.
* Il trinomio nella forma <math>mx^2+nx+q</math>, con <math>m</math>, <math>n</math> e <math>q</math> numeri reali diversi da zero.
Per scomporre questo trinomio è necessario trovare due numeri <math>x_1</math> e <math>x_2</math> la cui somma sia <math>n</math> e il prodotto sia <math>mq</math>; a questo punto è possibile riscrivere il trinomio nella forma<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.277</ref>:
<math>mx^2+(x_1+x_2)x+q</math>, dal quale si procede effettuando prima un [[raccoglimento a fattor comune|raccoglimento parziale]] e poi un [[raccoglimento a fattor comune]].
Per esempio:
scomporre il trinomio <math>6x^2-x-2</math>. Bisogna trovare due numeri <math>x_1</math> e <math>x_2</math> tali per cui <math>x_1+x_2=n=-1</math> e <math>mq=-12</math>; i numeri cercati sono <math>x_1=-4</math> e <math>x_2=+3</math>.
Il trinomio pertanto diventa:
<math>6x^2-x-2=6x^2+x(-4+3)-2=6x^2-4x+3x-2=2x(3x-2)+(3x-2)=(3x-2)(2x+1)</math>.
* Il quadrato di un [[binomio]]
Il quadrato di un binomio è sempre un trinomio, e rientra nella categoria dei [[Prodotto notevole#quadrato della somma algebrica di due termini e della somma algebrica di tre termini|prodotti notevoli]]; esso contiene sempre due termini, che sono ognuno il quadrato di un [[monomio]], ed un terzo termine che è il prodotto dei due monomi moltiplicato per due<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.15</ref>.
In generale:
<math>a^2+2ab+b^2=(a+b)^2</math>.
=== Metodo alternativo ===
Un qualsiasi trinomio dei tre citati sopra può essere scritto nella forma generica (detta anche ''canonica'') <math>ax^2+bx+c</math> e fattorizzato con un'unica regola, poiché in tutti i casi sono [[equazione di secondo grado|trinomi di secondo grado]]. Applicando la formula risolutiva<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.63</ref>:
<math>x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4c}}{2}</math>,
nei casi in cui <math>\Delta\geqslant 0</math>, è possibile fattorizzare il trinomio nel seguente modo<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.73</ref>:
<math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)</math>.
Qualsiasi trinomio di secondo grado, scritto come equazione del tipo <math>y=ax^2+bx+c</math>, è rappresentato graficamente in un [[piano cartesiano]] da una [[Parabola (geometria)|parabola]].<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.74</ref>
== Prodotti notevoli ==
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini, più la somma dei tre possibili doppi prodotti<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.16</ref>:
:<math>(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc</math>
Il cubo di un trinomio è uguale
:<math>(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2(b + c) + 3b^2(a + c) + 3c^2(a+b) + 6abc </math>
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}}
==Voci correlate==
* [[Polinomio]]
* [[Prodotto notevole#Cubo_di_trinomio|Cubo di un trinomio]]
* [[Parabola (geometria)|Parabola]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|etichetta=trinomio|wikt=trinomio}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Algebra elementare]]
[[Categoria:Polinomi]]
▲[[es:Trinomio]]
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