Equazione lineare

Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica di primo grado, dove cioè il grado massimo delle incognite è uno.

Equazioni lineari in una incognita

Quelle ad una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta forma normale:

ax+b=0

dove $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi.

Se $a\neq 0$ allora trasportando $b$ a secondo membro e dividendo per $a$ si ottiene:

x=-{\frac {b}{a}}

L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a $-{\tfrac {b}{a}}$ .

Se invece $a=0$ allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata.

Se infatti $b=0$ allora $x=-{\tfrac {0}{0}}$ , divisione di risultato indeterminato. Per questo anche l'equazione è detta indeterminata e il suo insieme delle soluzioni coincide con il dominio.

Ma se fosse $b\neq 0$ risulterebbe $x=-{\tfrac {b}{0}}$ , il che è impossibile. L'equazione è quindi detta impossibile perché non ha soluzioni: il suo insieme delle soluzioni è infatti vuoto.

Equazioni lineari in più incognite

Più in generale, un'equazione lineare in $n$ incognite $x_{1}$ , $x_{2}$ , ..., $x_{n}$ è riconducibile alla forma:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+k=0

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma $y=mx+q$ oppure $ax+by+c=0$ ) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma $ax+by+cz+d=0$ rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo n-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in n incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad n - 1 dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare ad una sola incognita rappresenta un semplice punto.