Funzione aritmetica
In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".
In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Una funzione aritmetica f può essere:
- additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
- completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
- moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
- completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.
Funzioni additive
[modifica | modifica wikitesto]ω (n) – divisori primi distinti
[modifica | modifica wikitesto]La funzione
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
Funzioni completamente additive
[modifica | modifica wikitesto]Ω (n) – divisori primi
[modifica | modifica wikitesto]La funzione
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
ν p(n) – divisori potenze di primi
[modifica | modifica wikitesto]La funzione valutazione p-adica
se , con pi primi distinti e ai interi positivi.
Funzioni moltiplicative
[modifica | modifica wikitesto]σ k(n), τ (n), d(n) – somme di divisori
[modifica | modifica wikitesto]La funzione
Nel caso particolare k=0, la funzione
Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha
Nel caso particolare k=1, la funzione
φ (n) – funzione toziente di Eulero
[modifica | modifica wikitesto]La funzione toziente di Eulero
Jk(n) – funzione toziente di Jordan
[modifica | modifica wikitesto]La funzione toziente di Jordan Jk(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.
Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J1(n)=
μ (n) - funzione di Möbius
[modifica | modifica wikitesto]La funzione di Möbius
Funzioni completamente moltiplicative
[modifica | modifica wikitesto]λ (n) – funzione di Liouville
[modifica | modifica wikitesto]La funzione di Liouville
χ (n) – caratteri
[modifica | modifica wikitesto]Tutti i caratteri di Dirichlet
Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):
In questa formula è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da
per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha
Funzioni né additive né moltiplicative
[modifica | modifica wikitesto]π (x) – enumerazione di primi
[modifica | modifica wikitesto]Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).
La funzione enumerativa dei primi
Ad esempio si ha che
Λ (n) – funzione di von Mangoldt
[modifica | modifica wikitesto]La funzione di von Mangoldt
p(n) – funzione partizione
[modifica | modifica wikitesto]La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):
rk(n) – somma di quadrati
[modifica | modifica wikitesto]La funzione rk(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)
Ad esempio r4(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio
dunque r4(1)=8.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle funzioni aritmetiche
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