Gruppo generale lineare
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo lineare generale è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K, dove n è un numero intero positivo. Il gruppo lineare generale viene indicato con GL(n, K) oppure con GLn(K), e si dice anche gruppo di matrici.
Il gruppo lineare speciale è il sottogruppo delle matrici aventi determinante uguale a +1. Il gruppo lineare speciale viene indicato con SL(n, K) oppure con SLn(K).
Definizione e proprietà basilari
[modifica | modifica wikitesto]L'insieme GL(n, K) forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione fra matrici. Questo è anche l'insieme di tutte le matrici aventi determinante diverso da zero. Per il teorema di Binet, la funzione
che associa ad una matrice A in GL(n, K) il suo determinante, è un omomorfismo da GL(n, K) in K*, cioè K meno lo zero (che forma un gruppo con l'operazione prodotto).
Il sottogruppo normale SL(n,K) è il nucleo di questo omomorfismo. In altre parole, è il sottogruppo delle matrici con determinante +1.
Spazi vettoriali
[modifica | modifica wikitesto]Il gruppo generale lineare GL(V) di uno spazio vettoriale V sul campo K è definito come il gruppo di tutti gli automorfismi dello spazio, cioè delle trasformazioni lineari invertibili di V in sé. Se lo spazio ha dimensione n finita, allora GL(V) è isomorfo a GL(n,K). L'isomorfismo non è canonico, perché dipende dalla scelta della base di V: se rappresentiamo l'automorfismo T come
dove è una data base, allora la matrice corrispondente a T è proprio la matrice con entrate , cioè la sua matrice associata.
Caso reale
[modifica | modifica wikitesto]Algebra
[modifica | modifica wikitesto]- I gruppi GL(n, R) e SL(n, R) non sono mai commutativi per n > 1.
- Le matrici diagonali formano un sottogruppo di GL(n, R).
Topologia
[modifica | modifica wikitesto]Il gruppo GL(n, R) è anche una varietà differenziabile, e assieme alla struttura di gruppo forma un gruppo di Lie. Non è compatto né connesso, perché il determinante è una funzione continua e suriettiva a valori in R meno lo zero, che non è compatto né connesso. Esso ha due componenti connesse, una delle quali contiene SL(n, R).
È però omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale O(n), che è un gruppo di Lie compatto.
Il sottogruppo SL(n, R) è connesso ma non compatto, ma è omotopicamente equivalente al gruppo ortogonale speciale SO(n), che è un gruppo di Lie connesso e compatto.
Su un campo finito
[modifica | modifica wikitesto]Se K è un campo finito con q elementi, a volte si scrive GL(n,q) invece di GL(n,K) (e analogamente SL(n,q) invece di SL(n,K)). Quando q=p è un numero primo, GL(n,p) è il gruppo degli automorfismi esterni del gruppo e poiché è un gruppo abeliano e quindi ha gruppo degli automorfismi interni banale, GL(n,p) è anche il gruppo degli automorfismi.
L'ordine di GL(n, q), che in questo caso è un gruppo finito, è
Questo si può calcolare contando le possibili colonne della matrice: la prima colonna può essere un qualunque vettore non nullo, la seconda può essere un qualunque vettore linearmente indipendente dalla prima colonna e, in generale, la k-esima colonna può essere un qualunque vettore linearmente indipendente dalle prime k -1 colonne.
L'ordine di SL(n, q), che in questo caso è un gruppo finito, è
dove l'uguaglianza vale per la somma della serie geometrica troncata a n-1. Il calcolo del dell'ordine segue dal fatto che SL(n, q) è il nucleo dell'omomorfismo suriettivo
dove il codominio ha ordine q-1.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Per esempio GL(3,2) ha ordine (8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168 ed è il gruppo degli automorfismi del piano di Fano e del gruppo
Inoltre SL(3,2) ha ordine (1+2+4)(8-2)(8-4) = 168 e infatti GL(3,2) è isomorfo a SL(3,2).
In generale se q=2 si ha sempre che GL(n,2) è isomorfo a SL(n,2).
Se n=2 le precedenti formule si riducono a
per GL(2,q) e a
per SL(2,q).
Storia
[modifica | modifica wikitesto]Il gruppo lineare generale su un campo primo GL(
Generalizzazione
[modifica | modifica wikitesto]Il gruppo lineare generale può anche essere definito su un anello commutativo unitario L'insieme GL(n, A) forma un gruppo con l'operazione di moltiplicazione fra matrici. Questo è anche l'insieme di tutte le matrici aventi determinante invertibile in Per il teorema di Binet (che vale in ogni anello commutativo), la funzione
che associa a una matrice M in GL(n, A) il suo determinante, è un omomorfismo da GL(n, A) in A*, cioè l'insieme delle unità di (che forma un gruppo con l'operazione prodotto).
Il sottogruppo normale SL(n,A) è il nucleo di questo omomorfismo. In altre parole, è il sottogruppo delle matrici con determinante 1.
Sugli interi modulo m
[modifica | modifica wikitesto]Sia un intero con fattorizzazione unica in primi: . Il gruppo lineare generale con elementi nell'anello ha cardinalità
che si ottiene usando il teorema cinese del resto per separare i primi e poi considerando gli elementi di per ogni e sollevandoli a in tutti i modi possibili.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Évariste Galois, Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, XI, 1846, pp. 408–415. URL consultato il 4 febbraio 2009.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo generale lineare, su MathWorld, Wolfram Research.