Distanza euclidea
In matematica, la distanza euclidea è una distanza tra due punti, in particolare è una misura della lunghezza del segmento avente per estremi i due punti.
Usando questa distanza, lo spazio euclideo diventa uno spazio metrico (più in particolare risulta uno spazio di Hilbert). La letteratura tradizionale si riferisce a questa metrica come metrica pitagorica.
Distanza unidimensionale
[modifica | modifica wikitesto]Per due punti in uno spazio unidimensionale, e , la distanza euclidea è calcolata come:
Distanza bidimensionale
[modifica | modifica wikitesto]Per due punti in uno spazio bidimensionale, e , la distanza euclidea è calcolata come:
Approssimazione 2D per applicazioni informatiche
[modifica | modifica wikitesto]Un'approssimazione rapida della distanza in 2D basata su un intorno ottagonale può essere calcolata come segue. Sia (valore assoluto) e . Se , la distanza approssimata è ; se , si invertono i due valori.
La differenza dalla distanza esatta è tra il −6% e il +3%; più dell'85% di tutte le possibili differenze sono tra il −3% e il +3%.
Il seguente codice Maple implementa questa approssimazione e produce un grafico con la circonferenza reale in nero e l'intorno ottagonale approssimato in rosso:
fasthypot := unapply(piecewise(abs(dx)>abs(dy), abs(dx)*0.941246+abs(dy)*0.41, abs(dy)*0.941246+abs(dx)*0.41), dx, dy): hypot := unapply(sqrt(x^2+y^2), x, y): plots[display]( plots[implicitplot](fasthypot(x,y) > 1, x=-1.1..1.1, y=-1.1..1.1, numpoints=4000), plottools[circle]([0,0], 1), scaling=constrained,thickness=2 );
Esistono altri tipi di approssimazione. Tutte cercano generalmente di evitare le radici quadrate, dato che sono costose in termini computazionali, e sono fonte di diversi errori: rapporto di velocità. Usando la notazione di cui sopra, l'approssimazione dx + dy − (1/2)×min(dx,dy) genera un errore tra lo 0% e il 12% (attribuito ad Alan Paeth). Un'approssimazione migliore in termini di errore RMS è dx + dy − (5/8)×min(dx,dy), per la quale è stimato un errore tra il −3% e il 7%.
È bene notare che se è necessario confrontare distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare la radice quadrata di tutte se si tiene conto delle seguenti proprietà:
- Se è maggiore di , allora anche la distanza sarà maggiore della distanza .
- Controllare se la distanza è maggiore della distanza è come confrontare con , e così via.
Un esempio del primo caso potrebbe essere quello di provare a determinare in quale punto della griglia di un sistema
Distanza tri-dimensionale
[modifica | modifica wikitesto]Per due punti in tre dimensioni, e , la distanza è calcolata come:
Approssimazioni 3D per applicazioni informatiche
[modifica | modifica wikitesto]Come indicato nella sezione sull'approssimazione 2D, quando si confrontano distanze (per le quali si vuole solo sapere ad esempio qual è la maggiore, e non l'effettiva differenza) non è necessario calcolare la radice quadrata di tutte. Infatti vale la regola che se è maggiore di , allora anche la distanza sarà maggiore della distanza .
Ad esempio, se si cerca la minima distanza tra due superfici in uno spazio tridimensionale, usando un sistema
Distanza n-dimensionale
[modifica | modifica wikitesto]In generale, per due punti in uno spazio -dimensionale, e , la distanza euclidea è calcolata come:
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Distanza euclidea, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- Distanza, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Distance, su MathWorld, Wolfram Research.