Operatore di evoluzione temporale

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L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante da un vettore di stato e consideriamo il vettore di stato al tempo identificato con . L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:

(1)

perché deve potersi determinare da .

Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo deve essere normalizzato a , quindi:

e questo implica che

(2)

cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:

Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:

(3)

dove è l'operatore identità e è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:

ossia:

e questo prova anche che l'operatore è un operatore unitario.

Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

(4)

dove genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:

(5)

Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore dipende unicamente dall'intervallo e non dall'istante iniziale , che si può porre uguale a . In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come:

(6)

Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del teorema di Stone.

Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo

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Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione di Schrödinger.

L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:

dividendo per e nel limite :

Applicato ad un generico vettore di stato :

dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

Stati stazionari

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L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre e scrivere senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava

e per i vettori di stato:

.

Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire e rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè

.

Si dimostra che

uno stato è stazionario se e solo se è autostato di .

Ad esempio, se si ha che:

.

Si vede così che la costante di proporzionalità è .

Se lo stato di partenza non è un autostato di , ma questa ha un insieme completo di autovettori , è possibile effettuare uno sviluppo in serie:

al tempo l'evoluzione del vettore di stato è:

cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:

I moduli quadri dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo , sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema, e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.

Se ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà:

.

Nel caso in cui abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

Osservabili e costanti del moto

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A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile :

ed è chiaro che il valor medio di è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione e per l'impulso si ha:

.

Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che

tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con , ovvero .

Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con .

Evoluzione temporale in rappresentazione di Heisenberg

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Per determinare il valor medio di abbiamo scritto e introducendo l'operatore si ha:

e posto , si ha:

.

Questa scrittura significa che si stanno tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se , si trova l'equazione di Heisenberg

che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.

Per una hamiltoniana nella forma si trovano due equazioni per e formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:

Voci correlate

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